离散傅立叶变换在图像处理中的推导和意义

最新推荐文章于 2025-02-03 20:25:52 发布

凌风玉

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分类专栏：信号处理文章标签：傅立叶变换图像处理离散傅立叶公式推导

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/oLingFengYu/article/details/87732589

傅立叶变换(FT)能应用的领域太多了，本文聊聊FT在图像处理上的应用。前有高人不用公式通俗地解释了傅立叶级数，傅立叶变换等概念(傅立叶变换讲解－知乎专栏, 任意取的一个名字，还望作者不要在意)。本文目的是更深入地理解一下傅立叶变换在图像处理领域的应用，包括如何推导公式和变换后频谱图的物理意义。

为了表述方便，是会用到公式的，但是对数学方面的要求就是会解多元一次方程组就行。

1. 傅立叶变换的基础知识

根据傅立叶级数的知识，对于任意一个周期为的函数 f(x) ，它可以被表示成一系列正弦波和余弦波的叠加：

$f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n*cos(x\omega n) + b_n*sin(x\omega n)$

其中 $\omega = \frac{2\pi}{T}$ 。

相信看过Heinrich大神那篇文章对这个就很容易理解，Wiki的图再放一遍傅立叶级数动图。

非周期函数没有傅立叶级数，但是我们可以把它看成一个无限大的周期函数。此时， $\omega$ 趋向于0，用积分的思想仍然可以把任意函数表示成正弦波和余弦波的叠加。

以上就是傅立叶变换的核心思想，任何信号都可以表示成一系列正弦波和余弦波的和的形式。不再赘述。

2. 图片傅立叶变换公式的推导

这一部分主要阐述如何在图片数据上进行傅立叶变换。

通用傅立叶公式是：

$F(\omega) = \mathcal{F}(f(t)) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$

意思就是现实中的一个任意数据 f(t) ，是由很多频率的正弦，余弦波叠加组成。其中 $F(\omega)$ 是频率为 $\omega$ 的正弦波幅度与余弦波幅度计算出的一个数值，是t从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 时， $f(t)e^{-i\omega t}$ 的积分。这个公式不太好理解，比如为什么是负无穷到正无穷？为什么会出现自然对数？为什么会有虚数？不是说有正余弦波吗，在哪里呢？好混乱啊，这是因为理解一个东西就像是在爬楼梯，一阶一阶地上，任何人都可以毫不费力地走上去。但是如果楼梯缺了几块，就会觉得走上去很难。直接看这个公式就是让人直接从地面跳到十层楼的楼顶，对任何人都难。因为傅立叶变换的推导过程比较繁杂，最后看到的公式推想物理意义很难。我们想的是，从基本思想推导出公式。

一个灰度图片是以一个二维矩阵的形式存在，和通用傅立叶变换相比，有俩点不同：

图片是二维，公式是一维
图片数据有限且离散，公式无限且连续。

有很多资料在说在图片傅立叶变换中，一个图片会被分成8*8的小块，再进行计算。这可能是在实现时候提高运算效率的一种方法，但是我觉得这对理解傅立叶变换物理意义造成了影响。我们按照公式去实现了一下，先不考虑运算效率问题，也就是说不把图片分成小块，代码在这里： DFT 简单实现－Matlab。

二维的问题

二维矩阵中每一列（或者每一行）数据都可以单独看作一个波。对一个 $M \times N$ 的矩阵，可以看作个 $M \times 1$ 的波。在二维傅立叶变换里，先分别对每一列（行）做傅立叶变换，会得到同样大小的傅立叶系数向量，再在另一个维度（上面是行这里就是列，上面是列这里就是行）对这些系数做傅立叶变换。所以，研究二维傅立叶变换可以看成俩个一维傅立叶变换，本质上还是一维数据的处理。