25、直觉对连逻辑：无限逻辑体系的构建与分析

直觉对连逻辑：无限逻辑体系的构建与分析

在逻辑研究领域，直觉对连逻辑是一个新兴且充满潜力的方向。本文将深入探讨直觉对连逻辑的相关内容，包括其逻辑规则、公理系统、语义模型以及证明论方面的成果。

直觉对连逻辑 Cm,n 的基本性质

直觉对连逻辑 Cm,n 具有一些重要的基本性质。根据命题 2，它在等价替换规则下是封闭的，即若 ∼iϕ ↔ ∼iψ（其中 i ∈ [0, 2m + n)），则有 χ ↔ χ(ϕ/ψ) (REm,n)。特别地，如果 ϕ ↔ ψ ∈ C1,0 且 ∼ϕ → ∼ψ ∈ C1,0，那么 χ ↔ χ(ϕ/ψ) ∈ C1,0。

〈m, n〉-对连逻辑的格结构

为了更深入地研究直觉对连逻辑，我们引入了〈m, n〉-对连逻辑的概念，并构建了其格结构。
- Hilbert 式公理系统 HCm,n ：该系统由以下公理模式和推理规则组成：
- (IPC)：直觉主义命题演算 IPC 的所有公理模式。
- (C1)：∼2m + nϕ ↔ ∼nϕ。
- (C2)：∼(ϕ ∧ ψ) ↔ (∼ϕ ∨ ∼ψ)。
- (C3)：∼(ϕ ∨ ψ) ↔ (∼ϕ ∧ ∼ψ)。
- (C4)：∼(ϕ → ψ) ↔ (ϕ → ∼ψ)。
- (MP)：从 ϕ → ψ 和 ϕ 推出 ψ。

我们用 ⊢HCm,n ϕ 表示 ϕ 是 HCm,n 的定理，HCm,n 表示 HCm,n 的所有定理的集合，Γ ⊢HCm,n ψ 表示 ψ 可从 Γ 在 HCm,n 中推导出来。

此外，对于所有 e ∈ E，o ∈ O 和 k ∈ Z∗，还有以下事实：