2017"百度之星"程序设计大赛 - 初赛- 小C的倍数问题

最新推荐文章于 2021-07-18 12:23:23 发布

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#数学 #百度之星

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本文探讨了在给定进制P的情况下，寻找满足特定条件的B的数量，即P进制下，一个正整数是B的倍数的充分必要条件是每一位加起来的和也是B的倍数。通过数学分析得出了解决方案，并提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

小C的倍数问题

Accepts: 1990
Submissions: 4931
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)
Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Problem Description

根据小学数学的知识，我们知道一个正整数x是3的倍数的条件是x每一位加起来的和是3的倍数。反之，如果一个数每一位加起来是3的倍数，则这个数肯定是3的倍数。

现在给定进制P，求有多少个B满足P进制下，一个正整数是B的倍数的充分必要条件是每一位加起来的和是B的倍数。
Input

第一行一个正整数T表示数据组数(1<=T<=20)。

接下来T行，每行一个正整数P(2 < P < 1e9)，表示一组询问。
Output

对于每组数据输出一行，每一行一个数表示答案。
Sample Input

1
10

Sample Output

题目大意：给定进制P，求有多少个B满足P进制下，一个正整数是B的倍数的充分必要条件是每一位加起来的和是B的倍数。
解题思路：对于 $a_np^n+\dots+a_1p^1+a_0p^0$ ，其各位之和为 $a_n+\dots+a_1+a_0$ ，相减得 $(p-1)a_1+(p^2-1)a_2+\dots+(p^n-1)a_n$ ，若该数能被B整除，且各位之和能被B整除，那么原数也能被B整除。分析一下，只要判断前两项，又 $p^2-1=(P+1)(p-1)$ ，故判断 $p-1$ 的因数即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        LL p;
        scanf("%I64d",&p);
        LL cnt=0;
        LL a=p-1,b=p*p-1;
        int i;
        for(i=1;i*i<=a;i++)
        {
            if((a%i==0)) cnt++;
        }
        i--;
        cnt*=2;
        if(i*i==a) cnt--;
        printf("%I64d\n",cnt);
    }
    return 0;
}