8、核方法相关理论与计算实践解析

核方法相关理论与计算实践解析

1. 再生核希尔伯特空间基础理论

在数学领域，我们常常会遇到一些复杂的空间和函数关系。对于再生核希尔伯特空间（RKHS），有一系列重要的理论基础需要深入理解。

首先，考虑一个序列({\langle f_n, g_n\rangle_{H_0}})，由于它是实数序列且为柯西序列，根据相关命题可知它是收敛的。这里的内积收敛结果仅依赖于(f(x))和(g(x))（(x\in E)）。假设存在另外两个柯西序列({ f’ n})和({ g’_n})，它们在(E)上分别收敛于(f)和(g)。那么({ f_n - f’_n})和({ g_n - g’_n})同样是柯西序列，并且在(E)上收敛于(0)。依据引理(4)，当(n\to\infty)时，(| f_n - f’_n| {H_0})和(| g_n - g’ n| {H_0})趋近于(0)。这就意味着：
[
|\langle f_n, g_n\rangle_{H_0} - \langle f’ n, g’_n\rangle {H_0}| = |\langle f_n, g_n - g’ n\rangle {H_0} + \langle f_n - f’ n, g’_n\rangle {H_0}| \leq | f_n| {H_0}| g_n - g’_n| {H_0} + | f_n - f’ n| {H_0}| g’ n| {H_0} \to 0
]
由此可知，序列({\langle f_n, g_n\rangle_{