[牛客网Wannafly挑战赛23E]排序

最新推荐文章于 2022-10-13 16:29:59 发布

alan_cty

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分类专栏：概率与期望组合数文章标签： wannafly挑战赛23 E排序数学排列组合

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探讨了随机2*n排列中奇数位排序后逆序对的期望计算问题，通过数学推导给出了O(1)的解法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

###Description
随机一个2*n的排列，将奇数位从小到大排序，求逆序对个数的期望
比如说，4,6,1,5,3,2排序后会变成1,6,3,5,4,2，逆序对个数为8
n<=5e7

###Solution
~~做了好几节数学课的说~~
根据期望的线性性，我们只需要枚举两个位置，将这两个位置为逆序对的概率相加
偶数位和偶数位之间的显然是n*(n-1)/4，奇数位和奇数位之间的显然为0，我们只需要考虑奇数和偶数
考虑枚举第i个奇数位是j，在i后面的偶数位都是等价的，同理在i前面的偶数位也都是等价的
设Pi,j表示第i个奇数位是j的排列的概率，那么这部分的答案为：
$∑i=1n∑j=12nPi,j∗(n−i+1)∗(j−i)+(i−1)∗(n−j+i)n\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{2n}Pi,j*{(n-i+1)*(j-i)+(i-1)*(n-j+i)\over n}$
考虑Pi,j，相当于从j-1个比j小的数中选择i-1个放在i前面，从2n-j个比j大的数中选择n-i个放在后面
那么 $Pi,j=(i−1j−1)(n−i2n−j)(n!)22n!Pi,j={(^{j-1}_{i-1})(^{2n-j}_{n-i})(n!)^2\over {2n!}}$
接下来我们来化简式子，比如考虑(n-i+1)(j-i)这一项，将组合数划开：
$∑j=12n∑i=1n(n−i+1)(j−i)(j−1)!(2n−j)!(j−i)!(i−1)!(n−i)!(n−j+i)!\sum_{j=1}^{2n}\sum_{i=1}^{n}(n-i+1)(j-i){(j-1)!(2n-j)!\over (j-i)!(i-1)!(n-i)!(n-j+i)!}$
考虑把(n-i+1)变成(n-i)，额外多出一项，那么式子变成了
$∑j=12n∑i=1n(n−i)(j−i)(j−1)!(2n−j)!(j−i)!(i−1)!(n−i)!(n−j+i)!\sum_{j=1}^{2n}\sum_{i=1}^{n}(n-i)(j-i){(j-1)!(2n-j)!\over (j-i)!(i-1)!(n-i)!(n-j+i)!}$
$∑j=12n∑i=1n(j−1)!(2n−j)!(j−i−1)!(i−1)!(n−i−1)!(n−j+i)!\sum_{j=1}^{2n}\sum_{i=1}^{n}{(j-1)!(2n-j)!\over (j-i-1)!(i-1)!(n-i-1)!(n-j+i)!}$
我们尝试把右边再写成组合数的形式
$∑j=12n∑i=1n(j−1)(2n−j)(j−2)!(2n−j−1)!(j−i−1)!(i−1)!(n−i−1)!(n−j+i)!\sum_{j=1}^{2n}\sum_{i=1}^{n}(j-1)(2n-j){(j-2)!(2n-j-1)!\over (j-i-1)!(i-1)!(n-i-1)!(n-j+i)!}$
$∑j=12n∑i=1n(j−1)(2n−j)(i−1j−2)(n−i−12n−j−1)\sum_{j=1}^{2n}\sum_{i=1}^{n}(j-1)(2n-j)(^{j-2}_{i-1})(^{2n-j-1}_{n-i-1})$
根据范德蒙恒等式，原始式子就变成了
$∑j=12n(j−1)(2n−j)(n−22n−3)\sum_{j=1}^{2n}(j-1)(2n-j)(^{2n-3}_{n-2})$
组合数可以和前面的 $n!(n−1)!2n!n!(n-1)!\over {2n!}$ 约掉
另外三项也可以用相同的方法化成只和j相关的式子*一个组合数
我们最后的式子就变成了 $14n−2∑j=12n(j−1)(2n−j+1){1\over {4n-2}}\sum_{j=1}^{2n}(j-1)(2n-j+1)$
然后运用一些基础的知识可以把式子变成 $4n2+2n124n^2+2n\over 12$ !
加上 $n(n−1)4n(n-1)\over 4$ 就变成了 $7n2−n127n^2-n\over 12$ ！
也就是说上面这么一大串式子最后可以O(1)出解
是不是很奇妙呢