【NOIP2017提高A组冲刺11.2】失格

最新推荐文章于 2018-08-20 17:57:00 发布

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本文介绍了一种针对完全图的最小生成树问题的高效解决方法，通过优化边的数量，使用Kruskal算法进行求解，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一张n个点的完全图，第i个点的点权为pi
点(x,y)之间的边为min(px%py,py%px)
求最小生成树
n<=1e5,p<=1e7

Solution

先来证明一个结论：对于一个点pi，只需要向所有的kpi到(k+1)pi区间中的最小值连边
采用反证法：假设我们不向最小值c1连边，那么我们连向的点ck，一定存在一条pi-c1-c2-..-ck的路径，和我们pi-ck的边权是相等的，并且根据kruskal的过程，这条边是不会加入的，与假设矛盾
于是我们就把边数变成O(p log p)的，实际远远不到。
Ps:听张俊说可以通过一个优化把边数优化到埃氏筛法的上界。。。。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;
int read() {
    char ch;
    for(ch=getchar();ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
    int x=ch-'0';
    for(ch=getchar();ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x;
}

const int N=1e7+5;

int n,x,mx,nn,next[N];
bool cnt[N];

void init() {
    n=read();
    fo(i,1,n) {
        x=read();
        if (!cnt[x]) nn++,cnt[x]=1;
        mx=max(mx,x);
    }
    fd(i,mx,1)
        if (cnt[i]) next[i]=i;
        else next[i]=next[i+1];
}

struct pty{int x,y,z;}E[N*4];
int tot,id[N*4],w[N];

void tsort() {  
    int mx=0;
    fo(i,1,tot) w[E[i].z]++,mx=max(mx,E[i].z);
    fo(i,1,mx) w[i]+=w[i-1];
    fd(i,tot,1) id[w[E[i].z]--]=i;
}

int fa[N];
int get(int x) {return fa[x]?fa[x]=get(fa[x]):x;}

void solve() {
    if (cnt[1]) {printf("0\n");return;}
    fo(i,2,mx)
        if (cnt[i])
            fo(j,1,mx/i) {
                if (i*j+(j==1)>mx) continue;
                int x=next[i*j+(j==1)];
                if (x<i*(j+1)) E[++tot].x=i,E[tot].y=x,E[tot].z=x%i;
            }
    tsort();

    ll ans=0;int tmp=0;
    fo(i,1,tot) {
        int x=get(E[id[i]].x),y=get(E[id[i]].y);
        if (x!=y) fa[y]=x,tmp++,ans+=E[id[i]].z;
        if (tmp==nn-1) break;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

int main() {
    freopen("autosadism.in","r",stdin);
    freopen("autosadism.out","w",stdout);
    init();
    solve();
    return 0;
}