atcoder agc001F Wide Swap

Description

给出一个长度为n的排列p，每次操作你可以交换任意两个满足|i-j|>=k并且|pi-pj|=1的pi和pj。
求任意次操作之后所得的最小字典序的排列。
n<=5*1e5

Solution

感觉agc的题都是些很吼的思维+结论题啊。。。以后要多做做
这个模型感觉会很难做，我们来考虑转化一下模型。
令q[p[i]]=i，那么操作就变成了交换相邻两个差的绝对值>=k的位置。
可以发现最小化p的字典序相当于最小化q的字典序
那么考虑这个新的问题，我们发现如果两个数x,y，满足|x-y| < k，那么x和y的相对位置是不会改变的。
那么我们相当于有一堆限制要满足，我们从x向y连一条边，就得到了一个DAG
这个DAG的最小拓扑序就是字典序最小的q！
可是这样连边的复杂度是O(n^2)的
我们要寻求优化，发现一个点所连出去的边有许多是冗余的
具体来说，三个点x,y,z，x,y有边，x,z有边，y,z也有边，那么x,z的边是无用的
考虑我们的连边，我们是从q[i]向[q[i]-k+1,q[i]+k-1]这个区间的点连边
发现对于[q[i]-k+1,q[i]]和[q[i],q[i]+k-1]这两个区间内部的点一定两两有边
那么根据上面的优化我们可以发现一个点只用向这两个区间中离它最近的点连边
这样边数就变成O(n)的了
上面的东西用线段树实现，复杂度O(n log n)

Code

#include <set>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define rep(i,a) for(int i=last[a];i;i=next[i])
using namespace std;

int read() {
    char ch;
    for(ch=getchar();ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
    int x=ch-'0';
    for(ch=getchar();ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x;
}
void write(int x) {
    if (!x) {puts("0");return;}
    char ch[20];int tot=0;
    for(;x;x/=10) ch[++tot]=x%10+'0';
    fd(i,tot,1) putchar(ch[i]);
    puts("");
}

const int N=5*1e5+5;
set<int> s;
int n,k,p[N],q[N],deg[N],tr[N<<2];
int last[N],next[N*2],t[N*2],l;
void build(int v,int l,int r) {
    tr[v]=n+1;
    if (l==r) return;
    int m=l+r>>1;
    build(v<<1,l,m);
    build(v<<1|1,m+1,r);
}
void modify(int v,int l,int r,int x,int y) {
    if (l==r) {tr[v]=y;return;}
    int m=l+r>>1;
    if (x<=m) modify(v<<1,l,m,x,y);
    else modify(v<<1|1,m+1,r,x,y);
    tr[v]=(tr[v<<1]<tr[v<<1|1])?tr[v<<1]:tr[v<<1|1];
}
int find(int v,int l,int r,int x,int y) {
    if (l==x&&r==y) return tr[v];
    int m=l+r>>1;
    if (y<=m) return find(v<<1,l,m,x,y);
    else if (x>m) return find(v<<1|1,m+1,r,x,y);
    else {
        int a=find(v<<1,l,m,x,m),b=find(v<<1|1,m+1,r,m+1,y);
        return (a<b)?a:b;
    }
}

void add(int x,int y) {
    t[++l]=y;deg[y]++;next[l]=last[x];last[x]=l;
}

void init() {
    n=read();k=read();
    fo(i,1,n) p[i]=read(),q[p[i]]=i;
}

void solve() {
    build(1,1,n);
    fd(i,n,1) {
        int x;
        x=find(1,1,n,max(q[i]-k+1,1),q[i]);
        if (x<=n) add(q[i],q[x]);
        x=find(1,1,n,q[i],min(q[i]+k-1,n));
        if (x<=n) add(q[i],q[x]);
        modify(1,1,n,q[i],i);
    }
    fo(i,1,n) if (!deg[i]) s.insert(i);
    fo(i,1,n) {
        int x=q[i]=*s.begin();s.erase(s.begin());
        rep(i,x) if (!(--deg[t[i]])) s.insert(t[i]);
    }
    fo(i,1,n) p[q[i]]=i;
    fo(i,1,n) write(p[i]);
}
int main() {
    freopen("permutation.in","r",stdin);
    freopen("permutation.out","w",stdout);
    init();solve();
    return 0;
}