【GDOI2017模拟12.9】完全背包问题

最新推荐文章于 2024-05-18 09:17:46 发布

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本文介绍了一种针对背包问题的动态规划算法优化方案，通过排序和状态转移优化，解决了物品数量无限的问题。对于大小受限的物品，算法确保了在特定约束条件下能够高效地判断给定容量是否能被装满。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有n种物品，第i种物品的大小为vi，数量为无限多。
现在有m个询问，每次询问一个容量w是否能被装满。
我们限制大小大于等于l的物品最多只能有c个。
n<=50,m<=1e5,w<=1e18,c<=30

Solution

普通的暴力dp相信大家都会写。
但这个状态太大，我们需要一点优化。
首先把v排序，如果v1>=l，那么所有的物品都是有限制的，并且最多只能选30个，随便dp一下就好辣
否则的话，v1就是可以选无数个的。
我们可以设状态Fi,j表示能够达成x%v1=i且选了j个有限制的物品最小的x
那么我们判断可行就只需要满足Fw%v1,k<=w就好了，因为我们可以加无数个v1上去达到这个状态。
但是我们发现这样划分状态转移是有环的。
你可以把图构出来，然后跑最短路，也可以找出其中F值最小的那个点，这个点一定不会被更新，那么我们就把环破成链，直接转移就好了。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e4+5;
ll f[N][32],x,inf;
int a[51],d[N],l,c,st,n,m;
bool bz[N];
void solve(int w,int j) {
    memset(bz,0,sizeof(bz));
    fo(i,0,a[1]-1) if (!bz[i]) {
        int x=i,mi=inf,s;d[0]=0;
        while (!bz[x]) {
            if (f[x][j]<mi) mi=f[x][j],s=x;
            bz[x]=1,(x+=w)%=a[1];
        }
        int t=s;
        for(int next=(s+w)%a[1];next!=t;s=next,next=(s+w)%a[1]) f[next][j]=min(f[next][j],f[s][j]+w); 
    }
}
void put(int w,int j) {
    fo(i,0,a[1]-1) f[(i+w)%a[1]][j+1]=min(f[(i+w)%a[1]][j+1],f[i][j]+w);
}
int main() {
    freopen("bag.in","r",stdin);
    freopen("bag.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    scanf("%d%d",&l,&c);st=n+1;
    fo(i,1,n) if (a[i]>=l) {st=i;break;}
    memset(f,127,sizeof(f));inf=f[0][0];f[0][0]=0;
    fo(j,0,c) {
        fo(i,2,st-1) solve(a[i],j);
        fo(i,st,n) put(a[i],j);
    }
    for(;m;m--) {
        scanf("%lld",&x);bool pd=0;
        fo(i,0,c) if (f[x%a[1]][i]<=x) {pd=1;break;}
        if (pd) printf("Yes\n");
        else printf("No\n"); 
    }
}