[bzoj2818]gcd

Description

求

$$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}gcd(i,j)为质数的个数$$
N<=10^7

Solution

很显然的莫比乌斯反演~(≧▽≦)/~啦啦啦
然而本蒟蒻只会这种傻逼方法，跑了

WerKeyTom_FTD爷用了机智的phi法，跑的飞起。

好吧，回归正题。
首先，我们知道，根据普通的莫比乌斯反演，

$$Ans=\sum_{p是质数}\sum_{i=1}^{\lfloor{N\over p}\rfloor}\mu(i){\lfloor{N\over p*i}\rfloor}^2$$
然后，枚举 $T=p*i$
$$Ans=\sum_{T=1}^{N}{\lfloor{N\over T}\rfloor}^2\sum_{p|T且p是质数}\mu({T\over p})$$
然后，后面那个∑可以预处理出来，设为 $a(T)$。
于是 $$Ans=\sum_{T=1}^{N}{\lfloor{N\over T}\rfloor}^2a(T)$$
然后就可以优美的分块了（其实不用）

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define N 10000005
using namespace std;
typedef long long ll;
int mu[N],p[N];
ll n,ans,a[N];
bool bz[N];
int main() {
    scanf("%lld",&n);mu[1]=1;
    fo(i,2,n) {
        if (!bz[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        fo(j,1,p[0]) {
            int k=i*p[j];if (k>n) break;bz[k]=1;
            if (!(i%p[j])) break;mu[k]=-mu[i];
        }
    }
    fo(i,1,p[0]) fo(j,1,n/p[i]) a[p[i]*j]+=mu[j];
    fo(i,1,n) a[i]+=a[i-1];
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        ll x=n/l;r=n/x;
        ans+=(r-l+1)*x*x*(a[r]-a[l-1]);
    }
    printf("%lld",ans);
}