达朗贝尔判别法详解：原理、推导与应用

达朗贝尔判别法详解：原理、推导与应用

一、引言

在数学分析中，判断无穷级数收敛性是一个基础而重要的问题。达朗贝尔判别法（D’Alembert’s Ratio Test）作为一种强大的工具，在处理幂级数、阶乘型级数和指数型级数时尤为有效。此判别法由18世纪法国数学家让·勒朗·达朗贝尔（Jean-le-Rond d’Alembert，1717-1783）提出，也被称为"比值判别法"。

本文将系统地介绍达朗贝尔判别法的基本原理，并着重深入推导其数学证明过程，同时结合实例讲解其应用方法。

二、达朗贝尔判别法的定义

考虑级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$，达朗贝尔判别法关注相邻项之比的极限：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$$

根据极限值 $\rho$ 的不同，可得出以下判断：

1. 若 $\rho <1$，则级数绝对收敛
2. 若 $\rho >1$，则级数发散
3. 若 $\rho =1$，则判别法失效，需使用其他方法

三、数学推导过程

达朗贝尔判别法的数学推导是理解它的核心。下面我们将详细展开推导过程，分别讨论三种情况。

3.1 当 $\rho <1$ 时的收敛性证明

定理： 若 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho <1$，则级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛。

证明：

1. 由于 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho <1$，我们可以选取一个数 $r$ 使得 $\rho <r<1$。

2. 根据极限的定义，存在一个正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有：
   $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<r$$

3. 对于 $n>N$，我们可以递推得到：

   • $|a_{N+1}|<r|a_N|$
   • $|a_{N+2}|<r|a_{N+1}|<r^2|a_N|$
   • $|a_{N+3}|<r|a_{N+2}|<r^3|a_N|$
   • $\cdots$
   • $|a_{N+k}|<r^k|a_N|$

4. 因此，对于 $n>N$ 的项，我们有：
   $$\sum _{n=N+1}^{\infty }|a_n|<|a_N|\sum _{k=1}^{\infty }{r}^k=|a_N|\frac{r}{1-r}$$

5. 因为 $r<1$，所以 $\frac{r}{1-r}$ 是有限值，这表明 ${\sum }_{n=N+1}^{\infty }|a_n|$ 收敛。

6. 再加上前 $N$ 项的有限和，可以得出整个级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ 收敛，即原级数绝对收敛。

3.2 当 $\rho >1$ 时的发散性证明

定理： 若 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho >1$，则级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 发散。

证明：

1. 由于 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho >1$，根据极限定义，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有：
   $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1$$

2. 这意味着对于 $n>N$，我们有 $|a_{n+1}|>|a_n|$。

3. 因此，序列 {∣an∣}\{|a_n|\}{∣an​∣} 从某一项开始单调递增，即：
   $$|a_{N+1}|<|a_{N+2}|<|a_{N+3}|<\cdots$$

4. 这表明 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n\ne 0$。

5. 根据级数收敛的必要条件，如果级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，则必须有 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$。

6. 由于此必要条件不满足，所以级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 发散。

3.3 当 $\rho =1$ 时的情况

当 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ 时，达朗贝尔判别法无法判断级数的收敛性。这是因为：

1. 当 $\rho =1$ 时，级数可能收敛，也可能发散。

2. 举例说明：

   • 调和级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 中，$\rho =1$ 但级数发散。
   • p-级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 中，$\rho =1$ 但级数收敛。

3. 在这种情况下，需要使用其他判别法（如柯西根值判别法、比较判别法、积分判别法等）来确定级数的收敛性。

四、应用实例

下面通过几个具体例子来展示达朗贝尔判别法的应用。

例1：判断级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{3^n}$ 的收敛性

解析：

首先计算相邻项之比的极限：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{\frac{(n+1{)}^2}{3^{n+1}}}{\frac{n^2}{3^n}}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+1{)}^2}{3n^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+1{)}^2}{3n^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+2n+1}{3n^2}=\frac{1}{3}$$

由于 $\rho =\frac{1}{3}<1$，根据达朗贝尔判别法，该级数绝对收敛。

例2：判断级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n\cdot 2^n$ 的收敛性

解析：

计算相邻项之比的极限：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{(n+1)\cdot 2^{n+1}}{n\cdot 2^n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{n}\cdot 2=2$$

由于 $\rho =2>1$，根据达朗贝尔判别法，该级数发散。

例3：判断级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}$ 的收敛性

解析：

计算相邻项之比的极限：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+1)n^n}{n!(n+1{)}^{n+1}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^n}{n!(n+1{)}^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n!}\cdot {\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n$$

由于 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n=\frac{1}{e}$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n!}=0$，所以 $\rho =0<1$。

根据达朗贝尔判别法，该级数绝对收敛。

五、达朗贝尔判别法的思维图解

六、达朗贝尔判别法的优缺点

优点：

1. 操作简便：仅需计算相邻项之比的极限，不需要找特定的比较级数。
2. 适用范围广：对于含有阶乘、指数或幂函数的级数尤为有效。
3. 直观明了：通过比值大小直接判断收敛性，理解起来较为简单。

缺点：

1. 在 $\rho =1$ 时失效：需要借助其他判别法。
2. 需要极限存在：如果 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 不存在，则无法应用。
3. 计算可能复杂：有些情况下，计算比值极限可能涉及复杂的极限计算技巧。

七、达朗贝尔判别法与其他判别法的关系

达朗贝尔判别法与柯西根值判别法有密切联系。事实上，如果 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$ 也成立。这意味着在极限存在的情况下，两种判别法得出的结论是一致的。

然而，在某些情况下，柯西根值判别法可能更有效，特别是当计算 $n$ 次根号比计算相邻项之比更简单时。

八、总结

达朗贝尔判别法是级数收敛性判断中的重要工具，通过研究相邻项之比的极限，可以有效判断许多类型级数的收敛性。其核心思想是：

1. 当相邻项之比的极限小于1时，级数将以类似几何级数的速度收敛。
2. 当相邻项之比的极限大于1时，级数项不会趋于零，导致级数发散。
3. 当相邻项之比的极限等于1时，需要使用其他判别法来确定收敛性。

理解达朗贝尔判别法的推导过程，有助于我们更深入地把握无穷级数的本质特征，为分析更复杂的级数问题打下坚实基础。在实际应用中，我们需要根据具体级数的特点，灵活运用达朗贝尔判别法并结合其他判别方法，才能高效准确地判断级数的收敛性。

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注：本文中的所有数学推导和例题均为教学目的，如有错误，欢迎指正。