18、隐藏变量与时间序列中的因果推理

隐藏变量与时间序列中的因果推理

1. 隐藏变量问题探讨

1.1 不同环境下的因果结构重建

在不同环境中，我们可以通过一些方法来处理隐藏变量，从而重建因果结构。假设在不同环境 (e \in E) 下观察到 (d) 个随机变量组成的向量 (X_e)，环境由独立的转移变量 (C_e = (C_{e1}, \cdots, C_{ed})) 生成，且与噪声变量相互独立。对于每个环境 (e)，有 (X_e = BX_e + C_e + N_e)，其中 (N_e) 的分布不依赖于 (e)。

通过一系列推导，可以得到 ((I - B)(\Sigma_{X,e} - \Sigma_{X,f})(I - B)^T = \Sigma_{C,e} - \Sigma_{C,f})。由于等式右边是对角矩阵，在至少有三个环境的情况下，通过对 (\Sigma_{X,e} - \Sigma_{X,f}) 进行联合对角化，在较弱的假设下可以识别出因果结构 (B)。这表明，在不同环境中施加线性模型和独立转移干预等规则条件，即使存在隐藏变量，也能重建潜在的因果结构。

1.2 相关问题

• 问题 9.10（充分性） ：证明某个相关备注。
• 问题 9.11（辛普森悖论） ：构建一个结构因果模型（SCM）(C)，包含二元随机变量 (X)、(Y) 和一系列变量 (Z_1, Z_2, \cdots)，使得在特定条件下出现辛普森悖论的极端情况。即对于所有偶数 (d \geq 0) 和所有 (z_1, \cdots, z_{d + 1})，有 (P_C(Y = 1|X = 1,