29、无证书密钥协商协议的安全性分析与策略选择

无证书密钥协商协议的安全性分析与策略选择

在当今的网络通信中，密钥协商协议的安全性至关重要。无证书密钥协商协议在随机预言模型下，基于计算双线性Diffie - Hellman（CBDH）假设和计算Diffie - Hellman（CDH）假设，为我们提供了一种安全的密钥协商方式。下面我们将深入探讨该协议的相关内容。

1. 协议复杂度优化

当使用双线性Diffie - Hellman假设时，H3哈希函数可以省略，这能节省2次哈希查询，并将协议复杂度降低到在某个集合中进行3次指数运算和5次配对计算。如果同一用户之间有多次协议运行（如VPN中的密钥更新），通过在安全内存中缓存某些值，复杂度可进一步降低。具体来说，后续运行的复杂度可降至4次指数运算和4次配对计算；若使用间隙双线性Diffie - Hellman假设，复杂度可降至2次指数运算和2次配对计算。

2. 双线性Diffie - Hellman陷门定理

为了能一致地回答对手对H2预言机的查询，并确定对手何时向H2预言机提交难题的解决方案，我们引入了几个重要的定理。

2.1 陷门测试定理（定理1）

设 $e : \mathbb{G} \times \mathbb{G} \to \mathbb{G}_T$ 是一个双线性配对，其中 $\mathbb{G}, \mathbb{G}_T$ 是两个素数阶 $p$ 的循环群，$P \in \mathbb{G}$ 是 $\mathbb{G}$ 的生成元。假设 $B_1 \in \mathbb{G}, y, z \in \mathbb{Z}_p$ 是相互独立的随机变量，定义 $B_2 := yP - zB_1$。进一步假设 $A, C$ 是 $\mathbb{G}$ 中的随机变量，$T_1, T_2$ 是 $\mathbb{G}_T$ 中的随机变量，它们分别是 $B_1$ 和 $B_2$ 的函数。则有：
1. $B_2$ 在 $\mathbb{G}$ 上均匀分布。
2. $B_1$ 和 $B_2$ 相互独立。
3. 如果 $B_1 = b_1P$ 且 $B_2 = b_2P$，那么 $T_1^z \cdot T_2 \stackrel{?}{=} e(A, C)^y$ 的真值与 $T_1 \stackrel{?}{=} e(A, C)^{b_1} \land T_2 \stackrel{?}{=} e(A, C)^{b_2}$ 的真值不一致的概率至多为 $1/p$。而且，如果后者成立，那么前者一定成立。

2.2 加法双BDH陷门测试定理（定理2）

设 $e : \mathbb{G} \times \mathbb{G} \to \mathbb{G}_T$ 是一个双线性配对，$P \in \mathbb{G}$ 是生成元。假设 $B_1, D_1 \in \mathbb{G}, y_1, y_2, z \in \mathbb{Z}_p$ 是相互独立的随机变量，定义 $B_2 := y_1P - zB_1$ 和 $D_2 := y_2P - zD_1$。进一步假设 $A, C$ 是 $\mathbb{G}$ 中的随机变量，$T_1, T_2$ 是 $\mathbb{G}_T$ 中的随机变量，它们分别是 $(A, C, B_1, D_1)$ 和 $(A, C, B_2, D_2)$ 的函数。则有：
- (i) $B_2$ 和 $D_2$ 在 $\mathbb{G}$ 上均匀分布，$B_2 + D_2$ 也如此。
- (ii) $B_1$ 和 $B_2$ 相互独立，$D_1$ 和 $D_2$ 相互独立，$B_2$ 和 $D_2$ 相互独立，$B_1 + D_1$ 和 $B_2 + D_2$ 相互独立。
- (iii) 如果 $B_1 = b_1P, B_2 = b_2P, D_1 = d_1P, D_2 = d_2P$，那么 $T_1^z T_2 \stackrel{?}{=} e(A, C)^{y_1 + y_2}$ 的真值与 $T_1 \stackrel{?}{=} e(A, C)^{b_1}e(A, C)^{d_1} \land T_2 \stackrel{?}{=} e(A, C)^{b_2}e(A, C)^{d_2}$ 的真值不一致的概率至多为 $1/p$。而且，如果后者成立，那么前者一定成立。

2.3 乘法双BDH陷门测试定理（定理3）

设 $e : \mathbb{G} \times \mathbb{G} \to \mathbb{G}_T$ 是一个双线性配对，$P \in \mathbb{G}$ 是生成元。假设 $B_1, C_1 \in \mathbb{G}, y_1, y_2, z \in \mathbb{Z}_p$ 是相互独立的随机变量，定义 $B_2 := y_1P - zB_1$ 和 $C_2 := y_2P - zC_1$。进一步假设 $A$ 是 $\mathbb{G}$ 中的随机变量，$T_1, T_2$ 是 $\mathbb{G}_T$ 中的随机变量，它们分别是 $(A, B_1, C_1)$ 和 $(A, B_2, C_2)$ 的函数。则有：
- (i) $B_2$ 和 $C_2$ 在 $\mathbb{G}$ 上均匀分布，$e(B_2, C_2)$ 在 $\mathbb{G}_T$ 上均匀分布。
- (ii) $B_1$ 和 $B_2$ 相互独立，$C_1$ 和 $C_2$ 相互独立，$B_2$ 和 $C_2$ 相互独立，$e(B_1, C_1)$ 和 $e(B_2, C_2)$ 相互独立。
- (iii) 如果 $B_1 = b_1P, B_2 = b_2P, C_1 = c_1P, C_2 = c_2P$，那么 $\frac{T_2}{T_1^{z^2}} \stackrel{?}{=} \frac{e(A, P)^{y_1y_2}}{e(A, C_1)^{y_1}e(A, B_1)^{y_2}}$ 的真值与 $T_1 \stackrel{?}{=} e(A, P)^{b_1c_1} \land T_2 \stackrel{?}{=} e(A, P)^{b_2c_2}$ 的真值不一致的概率至多为 $2/p$。而且，如果后者成立，那么前者一定成立。

3. 无证书密钥协商方案的安全性证明

我们要证明无证书密钥协商方案在随机预言模型下，基于CBDH假设和CDH假设是安全的密钥协商方案。

3.1 CBDH假设

给定 ${aP, bP, cP} \in \mathbb{G}^3$，很难计算 $e(P, P)^{abc} \in \mathbb{G}_T$。设 $Z$ 是一个算法，输入为 ${aP, bP, cP} \in \mathbb{G}^3$，输出为 $Z \in \mathbb{G}_T$。$Z$ 的CBDH优势定义为 $Pr[a, b, c \stackrel{\$}{\leftarrow} \mathbb{Z}_p : Z(aP, bP, cP) = e(P, P)^{abc}]$。

3.2 CDH假设

给定 ${aP, bP} \in \mathbb{G}^2$，很难计算 $abP \in \mathbb{G}$。设 $Z$ 是一个算法，输入为 ${aP, bP} \in \mathbb{G}^2$，输出为 $T \in \mathbb{G}$。$Z$ 的CDH优势定义为 $Pr[a, b \stackrel{\$}{\leftarrow} \mathbb{Z}_p : Z(aP, bP) = abP]$。

3.3 定理4

如果存在一个对手对我们的无证书密钥协商方案有优势，挑战者 $B$ 可以利用这个对手来解决计算Diffie - Hellman问题或计算双线性Diffie - Hellman问题。对手对方案的成功概率受限于 $Adv_M(k)[\Pi] \leq 9q_0q_1^2 \max{Adv_B(k)[CDH], Adv_B(k)[CBDH]}$。

4. 挑战者的可能策略

在游戏开始前，挑战者 $B$ 会尝试猜测测试会话。$B$ 随机选择两个索引 $I, J \in {1, \ldots, q_1}$ 且 $I \neq J$，代表对H1预言机的第 $I$ 个和第 $J$ 个不同查询。$B$ 正确选择 $I$ 和 $J$ 的概率大于 $\frac{1}{q_1^2}$。$B$ 还选择 $T \in {1, \ldots, q_0}$ 来确定测试预言机 $\Pi_T^{I,J}$，正确的概率大于 $\frac{1}{q_0q_1^2}$。如果 $B$ 没有正确猜测测试会话，游戏将中止。

为了利用对手 $M$ 获得计算CBDH或CDH挑战的优势，$B$ 会猜测会话中对手可能无法得知的密钥部分。根据所选策略，当 $M$ 的查询针对禁止元素时，$B$ 会中止游戏；否则，游戏正常进行。$B$ 有九种选择，如下表所示：

策略	1	2	3/4（镜像）	5/6（镜像）	7/8（镜像）	9
参与方 $p$ 的值：$I$	$sH_1(ID_p)$	$c$	$c$	$c$	$c$	$c$
参与方 $p$ 的值：$J$	$sH_1(ID_p)$	$c$	$c$	$c$	$c$	$c$
参与方 $p$ 的值：$I$	$sH_3(H_1(ID_p))$	$c$	$c$	$c$	$c$	$c$
参与方 $p$ 的值：$J$	$sH_3(H_1(ID_p))$	$c$	$c$	$c$	$c$	$c$
参与方 $p$ 的值：$I$	$x_p / x_pP$	$c/r$	$c/r$	$c/r$	$c/r$	$c/r$
参与方 $p$ 的值：$J$	$x_p / x_pP$	$c/r$	$c/r$	$c/r$	$c/r$	$c/r$
参与方 $p$ 的值：$I$	$r_p$	$c$	$c$	$c$	$c$	$c$
参与方 $p$ 的值：$J$	$r_p$	$c$	$c$	$c$	$c$	$c$
嵌入位置	$x_Ix_JP$	$r_Ir_JP$	$r_Ix_JP/r_Jx_IP$	$K$	$L$	$N$
问题类型	CDH	CDH	CDH	CBDH	CBDH	CBDH

其中，$c$ 表示损坏，$r$ 表示替换，mirr. 表示交换列 $I$ 和 $J$。策略1 - 4与计算Diffie - Hellman问题相关，策略5 - 9与计算双线性Diffie - Hellman问题相关。在证明中，问题总是嵌入在对手无法损坏或替换的值中。

以下是对各策略的具体说明：
1. 对手既不能得知 $ID_I$ 也不能得知 $ID_J$ 的秘密值。
2. 对手既不能得知 $ID_I$ 也不能得知 $ID_J$ 的临时私钥。
3. 对手既不能得知 $ID_J$ 的秘密值，也不能替换 $ID_J$ 的公钥，并且不能得知 $ID_I$ 的基于身份的私钥。
4. 对手既不能得知 $ID_J$ 的临时私钥，也不能得知 $ID_I$ 的秘密值。
5. 对手既不能得知 $ID_I$ 的临时私钥，也不能得知 $ID_J$ 的秘密值。
6. 对手既不能得知 $ID_I$ 的秘密值，也不能替换 $ID_I$ 的秘密值，并且不能得知 $ID_J$ 的基于身份的私钥。
7. 对手既不能得知 $ID_J$ 的临时私钥，也不能得知 $ID_I$ 的基于身份的私钥。
8. 对手既不能得知 $ID_I$ 的临时私钥，也不能得知 $ID_J$ 的基于身份的私钥。
9. 对手既不能得知 $ID_I$ 也不能得知 $ID_J$ 的基于身份的私钥。

由于有九种策略，$B$ 在预先选择策略和测试会话后不中止游戏的概率大于 $\frac{1}{9q_0q_1^2}$。对手仅在策略1、2、3和4中可能得知密钥生成中心的主秘密。此外，$B$ 用一个记录输入/输出对的表替换H2预言机。如果查询与之前的输入匹配，则返回相应的输出；否则，从相应的输出域中随机选择一个值，将新的输入/输出对添加到列表中并返回该值。H1和H3预言机的操作分别如下表所示：

修改后的H1预言机
| ID | H1(ID) |
| — | — |
| ID1 | $l_1P$ |
|… |… |
| IDI | $bP$ |
|… |… |
| IDJ | $cP$ |
|… |… |

$B$ 随机选择 $l_i \in \mathbb{Z}_p$ 并将 $H_1(ID_i)$ 设置为 $l_iP$。对于策略5、7和9，第 $I$ 个条目设置为 $H_1(ID_I) = bP$；对于策略6和8，第 $J$ 个条目设置为 $H_1(ID_J) = bP$；对于策略9，第 $J$ 个条目设置为 $H_1(ID_J) = cP$。$bP$ 和 $cP$ 取自BDH挑战的输入，由于它们在 $\mathbb{G}$ 中是随机的，这种修改对任何对手都是不可区分的。

修改后的H3预言机（适用于双线性Diffie - Hellman）
| $g_i \in \mathbb{G}$ | $H_3(g_i)$ |
| — | — |
| $H_1(ID_I) = bP$ | $y_{tbdh1}P - zbP$ |
| $H_1(ID_J) = cP$ | $y_{tbdh2}P - zcP$ |
| $g_1$ | $y_1P$ |
|… |… |

$B$ 随机选择 $y_i \in \mathbb{Z} p$ 并将 $H_3(g_i)$ 设置为 $y_iP$。对于策略5、6、7、8和9，在游戏开始前通过设置 $H_3(bP) = y {tbdh1}P - zbP$ 对预言机进行修补；对于策略9，在游戏开始前还通过设置 $H_3(cP) = y_{tbdh2}P - zcP$ 进行修补。$bP$ 和 $cP$ 取自BDH挑战的输入，由于预修补的值完全重新随机化，这种修改对任何对手都是不可区分的。

从上述内容可以看出，无证书密钥协商协议通过一系列的定理和策略选择，在随机预言模型下基于CBDH和CDH假设，为我们提供了一个安全可靠的密钥协商解决方案。不同的策略针对不同的安全场景，确保协议在面对各种对手攻击时都能保持较高的安全性。通过对协议复杂度的优化和对各种攻击的抵抗能力的分析，我们可以更好地理解和应用该协议，为网络通信的安全提供有力保障。

下面我们将继续探讨该协议在不同策略下的具体行为以及与安全模型的关系。

5. 与安全模型的关系

我们之前提到了一系列理想的安全概念，现在来分析该协议的安全性与这些策略之间的关系。

• UKS攻击 ：UKS攻击不是问题，因为密钥推导函数 $H_2$ 使用参与方的身份作为输入，在UKS攻击的情况下会输出不同的密钥。此外，基于身份的公钥是从身份名称派生而来的，也能防止UKS攻击。
• 基本冒充攻击 ：基本冒充攻击是不可能的，因为计算作为密钥推导函数 $H_2$ 输入的 $K, K’, L, L’, N$ 和 $N’$ 需要知道参与方的私钥。
• 弱完美前向保密性 ：策略2的证明保证了弱完美前向保密性。
• 密钥泄露冒充攻击抵抗 ：同样使用策略2证明了对密钥泄露冒充攻击的抵抗能力。
• 临时秘密部分泄露抵抗 ：除策略2外，所有策略都证明了对（部分）临时秘密泄露的抵抗能力，其中策略1、3和9最为重要。策略1还提供了针对临时秘密泄露给密钥生成中心或同时破坏两个基于身份私钥的对手的安全性；策略3提供了针对临时秘密泄露给替换了一个身份的无证书公钥并破坏了另一个身份的基于身份公钥的对手的安全性；策略9提供了针对临时秘密泄露给替换了两个身份的无证书公钥的对手的安全性。

6. 基于所选策略的挑战者行为

6.1 解决计算DH问题

为了使用对手 $M$ 解决计算DH问题，挑战者 $B$ 会得到值 $(aP, bP)$，其任务是计算 $abP$。$B$ 使用 $H_2$ 预言机来解决这个问题，双线性配对用于一致性检查。

6.2 解决计算BDH问题

为了使用对手 $M$ 解决计算BDH问题，挑战者 $B$ 会得到值 $(aP, bP, cP)$，其任务是计算 $e(P, P)^{abc}$。$B$ 使用 $H_2$ 和 $H_1$ 预言机来解决这个问题，$H_3$ 预言机用于一致性检查，其操作如前面表格所示。

会话密钥 $SK$ 通过对 $(ID_i, ID_j, r_iP, x_iP, r_jP, x_jP, r_ir_jP, x_ix_jP, r_ix_jP, r_jx_iP, K, K’, L, L’, N, N’)$ 查询 $H_2$ 生成，其中：
- $K = e(H_1(ID_j), P)^{r_is} \cdot e(H_1(ID_i), P)^{r_js}$
- $L = e(H_1(ID_j), P)^{sx_i} \cdot e(H_1(ID_i), P)^{sx_j}$
- $N = e(H_1(ID_i), H_1(ID_j))^s$

根据所选策略，$B$ 将挑战嵌入测试查询中，并按照指定方式回答测试查询。

7. 总结

无证书密钥协商协议在随机预言模型下，基于CBDH和CDH假设，通过一系列的定理和策略选择，为我们提供了一个安全可靠的密钥协商解决方案。不同的策略针对不同的安全场景，确保协议在面对各种对手攻击时都能保持较高的安全性。通过对协议复杂度的优化和对各种攻击的抵抗能力的分析，我们可以更好地理解和应用该协议，为网络通信的安全提供有力保障。

在实际应用中，我们可以根据具体的安全需求和场景选择合适的策略。例如，如果更关注临时秘密的保护，可以优先考虑策略1、3和9；如果需要保证弱完美前向保密性和密钥泄露冒充攻击抵抗能力，则策略2更为合适。同时，通过对协议复杂度的优化措施，我们可以在保证安全性的前提下，提高协议的运行效率，减少计算资源的消耗。

未来，随着网络安全环境的不断变化和发展，无证书密钥协商协议可能需要进一步的改进和优化。例如，研究如何在更复杂的攻击场景下保持协议的安全性，或者如何进一步降低协议的复杂度以适应资源受限的设备。我们也可以探索将该协议与其他安全技术相结合，以提供更全面的安全保障。总之，无证书密钥协商协议在网络安全领域具有重要的应用价值和研究意义。

无证书密钥协商协议的安全性分析与策略选择

8. 策略流程梳理

为了更清晰地展示挑战者的策略执行过程，下面用 mermaid 流程图来呈现。

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始游戏]):::startend --> B(挑战者B猜测测试会话):::process
    B --> C{是否猜对测试会话?}:::decision
    C -- 是 --> D(选择策略):::process
    C -- 否 --> E([中止游戏]):::startend
    D --> F{对手M查询是否针对禁止元素?}:::decision
    F -- 是 --> E
    F -- 否 --> G(游戏正常进行):::process
    G --> H(挑战者B嵌入挑战到测试查询):::process
    H --> I(回答测试查询):::process
    I --> J([结束游戏]):::startend

这个流程图清晰地展示了挑战者 $B$ 在整个游戏过程中的操作流程。从猜测测试会话开始，根据是否猜对以及对手的查询情况决定游戏是否继续，最后将挑战嵌入测试查询并回答，完成整个流程。

9. 协议优势总结

无证书密钥协商协议具有多方面的优势，下面通过列表的形式进行总结：
- 安全性高 ：基于CBDH和CDH假设，在随机预言模型下证明了其安全性，能有效抵抗多种攻击，如UKS攻击、基本冒充攻击、密钥泄露冒充攻击和临时秘密部分泄露攻击等。
- 策略灵活 ：挑战者有九种策略可供选择，不同策略针对不同的安全场景，能根据实际需求灵活应对各种潜在的攻击。
- 复杂度可优化 ：在特定假设下可以省略哈希函数，减少哈希查询次数，还能通过缓存值进一步降低后续运行的复杂度，提高运行效率。

10. 实际应用建议

在实际应用无证书密钥协商协议时，可以参考以下建议：
- 策略选择 ：根据具体的安全需求和场景选择合适的策略。如果担心临时秘密泄露，优先考虑策略1、3和9；若需要保证弱完美前向保密性和抵抗密钥泄露冒充攻击，选择策略2。
- 复杂度优化 ：对于同一用户之间的多次协议运行，利用缓存值的方法降低复杂度。在满足安全要求的前提下，尽量采用能减少计算量的假设，如间隙双线性Diffie - Hellman假设。
- 与其他技术结合 ：可以将该协议与其他安全技术相结合，如加密算法、访问控制技术等，提供更全面的安全保障。

11. 未来发展方向

随着网络安全环境的不断变化，无证书密钥协商协议也需要不断发展和完善，以下是一些可能的未来发展方向：
- 应对复杂攻击 ：研究如何在更复杂的攻击场景下保持协议的安全性，如量子计算攻击等。可以探索新的密码学假设和算法，提高协议的抗攻击能力。
- 降低复杂度 ：进一步降低协议的复杂度，以适应资源受限的设备，如物联网设备等。可以研究更高效的计算方法和优化策略，减少计算资源的消耗。
- 与新兴技术融合 ：将协议与新兴技术如区块链、人工智能等相结合，探索新的应用场景和安全解决方案。例如，利用区块链的分布式特性提高协议的可信度，利用人工智能技术进行实时的安全监测和预警。

12. 结论

无证书密钥协商协议在网络安全领域具有重要的地位和价值。通过对其复杂度的优化、安全性的证明以及多种策略的选择，该协议能有效抵抗各种攻击，为网络通信提供可靠的密钥协商解决方案。在实际应用中，我们可以根据具体需求选择合适的策略和优化方法，提高协议的运行效率和安全性。未来，随着技术的不断发展，无证书密钥协商协议有望在更多领域得到应用，并不断发展和完善，为网络安全提供更强大的保障。

总之，深入研究和应用无证书密钥协商协议，对于保障网络通信的安全和稳定具有重要意义。我们应该持续关注该领域的发展动态，不断探索新的技术和方法，以应对日益复杂的网络安全挑战。