15、配对友好曲线上快速哈希到G2及相关密码学应用

配对友好曲线上快速哈希到G2及相关密码学应用

在密码学领域，配对友好曲线的相关研究对于提升加密算法的效率和安全性至关重要。本文将介绍在配对友好曲线上快速哈希到G2的算法，以及该算法在不同类型曲线中的应用，同时还会探讨其在紧凑电子现金和可模拟可验证随机函数等密码学问题中的应用。

1. 算法2概述

算法2接收整数k以及多项式p(x)、t(x)和c(x)。其中，p(x)和t(x)分别对嵌入度为k的配对友好曲线的定义域大小和迹进行参数化，多项式c(x)则对在椭圆曲线的扭转上获得阶为r的点所需执行的乘法的困难部分进行参数化。该算法的步骤如下：
1. 以p(x)为基对c(x)进行重新编码 ：这一步对应算法2的第3 - 6行。
2. 以ψ(·)为基对c(x)进行重新编码 ：利用以p(x)为基的表示，结合通过对方程(1)进行归纳得到的方程系数，计算以ψ(·)为基的表示的系数，此步骤在算法2的第8 - 13行。
3. 检查系数 ：若系数gi(x)的次数大于等于p(x)的次数，则重新应用恒等式[p]P = [t]ψ(P) - ψ²(P)，对应算法2的第15 - 20行。
4. 利用关系(3)获得低次表示 ：最终利用关系(3)得到次数小于φ(k)的以ψ(·)为基的c(x)表示，这是算法2的第22 - 27行。

2. 不同类型曲线的应用

接下来，我们将针对几种流行的配对友好椭圆曲线家族，逐个应用该算法来寻找更快的余因子乘法方法。
- MNT曲线