9、非素域上配对友好阿贝尔簇的安全性分析

非素域上配对友好阿贝尔簇的安全性分析

1. 引言

在配对友好的阿贝尔簇研究中，确定其最小嵌入域是一个关键问题。这一问题的解决对于评估基于配对的密码系统的安全性至关重要。本文将围绕这一核心问题，对超奇异椭圆曲线和高维超奇异阿贝尔簇进行深入分析。

2. 相关理论基础

当 (k) 为奇数且 (m) 为偶数时，有 (\Phi_k(x^m) = \Phi_k(x^{m/2})\Phi_{2k}(x^{m/2}))。由于对于奇数 (k) 有 (\phi(k) = \phi(2k))，这两个因子的次数相同，因此不能直接使用某些技术来证明 (r) 整除 (\Phi_{km}(p)) 而不整除 (\Phi_{km/2}(p))。需要递归应用相关定理来确定 (q)、(k) 和 (r) 的条件，以保证 (r) 整除 (\Phi_{km}(p)) 和 (\Phi_{km/2}(p)) 中的一个，但还需要额外信息来确定具体是哪一个。

对于定义在有限域 (F_q) 上的椭圆曲线 (E)，其 (F_q) - 有理点的数量为 (#E(F_q) = q + 1 - t)，其中 (t) 是 (q) 次弗罗贝尼乌斯自同态的迹。根据 Hasse 定理，有 (|t| \leq 2\sqrt{q})。椭圆曲线 (E) 是超奇异的当且仅当 (\gcd(t, q) > 1)。

Menezes、Okamoto 和 Vanstone 对有限域 (F_q)（(q = p^m)）上的超奇异椭圆曲线进行了完整分类，给出了五种可能的嵌入度 (k) 及其对应的弗罗贝尼乌斯迹 (t) 的绝对值、(#E(F_q)) 以及 (p) 和 (m) 的条件，如下表所示：
| (k) | (t)