倍增LCA

思想：

一、前置知识：

1.用链式前向星存储图

2.dfs

二、思想：

1.寻找两个节点的公共祖先的朴素做法：从这两个节点向上遍历所有节点（dfs）

但是在有多组询问时，时间复杂度大到爆炸...

2.既然一步一步找太慢了，无法承受，那么才有二进制思想，每一次都往上走2的次方，于是...

3.准备：两个数组

（1）f[i][j]：i 节点向上走 2^j 步的祖先节点的编号

（2）d[i]：i 的深度

步骤：

1.将节点A和B移至同一高度

2.从这一高度开始找：

（1）若此时深度较大的往上移后，刚好等于另一个节点，说明另一个节点就是其公共祖先

（2）若不等：
从根节点开始找，直至f[A][j] != f[B][j]，将A和B分别移至此处，重复，知道找到最近公共祖先

代码：

以洛谷的一道模板题为例：

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 1000010;
//链式前向星
//1.建结构体
struct edges{
	int to;
	int next;
}e[N];
int head[N],f[N][21],d[N],cnt;
//2.加边
void addedge(int u,int v)
{
	e[cnt].to = v;
	e[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt ++;
}
//3.初始化
void init()
{
	memset(head,-1,sizeof head);
}
//dfs遍历——更新f[][]、d[]
void dfs(int x,int father)
{
	d[x] = d[father] + 1;
	f[x][0] = father;
    //更新f[x][]
	for(int i = 1;i <= 20;i ++)
	{
		f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
	}
    //遍历
	for(int i = head[x];i != -1;i = e[i].next)
	{
		int j = e[i].to;
		if(j == father) continue;  //因为存了两条边，所以这里是检索到了父节点~，需要跳过
		dfs(j,x);
	}
}

int main()
{
	init();
	int n,m,s;
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&s);
	for(int i = 0;i < n - 1;i ++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d %d",&u,&v);
		addedge(u,v),addedge(v,u);
	}
	dfs(s,0);  //从根节点开始
	while(m --)
	{
		int x,y;
		scanf("%d %d",&x,&y);
		if(d[x] < d[y]) swap(x,y);  //为了统一下面的for，假设x是深度大的那个节点
		for(int i = 20;i >= 0;i --)
		{
			if(d[f[x][i]] >= d[y]) x = f[x][i];
		}
		if(x == y)
		{
			printf("%d\n",x);
			continue;
		}
		for(int i = 20;i >= 0;i --)
		{
			if(f[x][i] != f[y][i])
			{
				x = f[x][i];
				y = f[y][i];
			}
		}
		printf("%d\n",f[x][0]);  //公共组先
	}
	return 0;
}