十三届蓝桥杯-李白打酒加强版

话说大诗人李白，一生好饮。

幸好他从不开车。

一天，他提着酒壶，从家里出来，酒壶中有酒 2斗。

他边走边唱：

无事街上走，提壶去打酒。

逢店加一倍，遇花喝一斗。

这一路上，他一共遇到店 N次，遇到花 M次。

已知最后一次遇到的是花，他正好把酒喝光了。

请你计算李白这一路遇到店和花的顺序，有多少种不同的可能？

注意：壶里没酒 (0斗) 时遇店是合法的，加倍后还是没酒；但是没酒时遇花是不合法的。

输入格式

第一行包含两个整数 N和 M。

输出格式

输出一个整数表示答案。由于答案可能很大，输出模 1000000007的结果。

数据范围

对于 40%的评测用例：1≤N,M≤10。
对于 100%的评测用例：1≤N,M≤100。

输入样例：

5 10

输出样例：

14

样例解释

如果我们用 0代表遇到花，1代表遇到店，14种顺序如下：

010101101000000
010110010010000
011000110010000
100010110010000
011001000110000
100011000110000
100100010110000
010110100000100
011001001000100
100011001000100
100100011000100
011010000010100
100100100010100
101000001010100

分析：

动态规划问题：

1.状态：f[i][j][k]:表示走到第i个位置，遇到了j个花，还剩k斗酒的方案数

2.初始状态：f[0][0][2]：题意，一开始有2斗酒

3.状态转移方程：

（1）第i个位置上遇到的是花：

f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i-1][j-1][k+1]) % MOD

根据这个方程：枚举j时，此时 j 必须 >= 1才能进行这样的状态转换

（2）第i个位置上遇到的是店

f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i-1][j][k/2]) % MOD

根据这个方程：枚举k时，此时 k必须为偶数，因为此时遇到的是店，酒量*2，不可能是奇数

4.答案：

根据题意：最后一个位置一定是花，且酒量为0，那么枚举到第 n-1 （n+m-1）个位置即可

f[n+m-1][m-1][1]：第n+m-1个位置，遇到了m-1个花，还剩1斗酒的方案数（最后一个位置是确定的）

代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

const int N = 110,MOD = 1000000007;
long long f[2*N][N][N];
int n,m;

int main()
{
	cin >> n >> m;
	f[0][0][2] = 1;
	for(int i = 1;i < n + m;i ++)
	{
		for(int j = 0;j < m;j ++)
		{
			for(int k = 0;k < m;k ++)
			{
				if(k%2==0)
					f[i][j][k] =(f[i][j][k] + f[i-1][j][k/2])%MOD;
				if(j>=1)
					f[i][j][k] =(f[i][j][k] + f[i-1][j-1][k+1])%MOD;
			}
		}
	}
	cout << f[n+m-1][m-1][1] << endl;
	return 0;
}