二维数组前缀和-优快云博客

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本文介绍了如何高效地计算二维数组的前缀和，并利用前缀和快速求解二维数组中任意区域的元素和。通过预处理第一行和第一列的前缀和，然后遍历剩余部分，实现O(1)时间复杂度求解区间和。这种方法在处理大量数据的区间查询时非常有用。

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二维数组前缀和

对于二维数组求前缀和,我们先预处理第一行跟第一列的前缀和

第一行跟第一列的前缀和可以看作一维数组的前缀和

在这里插入图片描述

前缀和数组的0,0等于原数组的0,0,第一行为原数组第一行的前缀和,第一列为第一列的前缀和

预处理:

//原数组
int arr[110][110]={
       {},
        {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
        {0,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5},
        {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
        {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
        {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
        {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
        {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
        {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
        {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
        {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
};
int sum[110][110]={0};//前缀和数组

//预处理
sum[1][1]=arr[1][1];
for(int i=2;i<=10;i++) {
    sum[1][i]=arr[1][i]+sum[1][i-1];
    sum[i][1]=arr[i][1]+sum[i-1][1];
}

遍历剩下的部分求前缀和:

在这里插入图片描述

如图不难看出 $(x, y)$ 前缀和等于 $(x - 1, y)$ 的前缀和加上 $(x, y - 1)$ 的前缀和再减去一次重叠部分 $(x - 1, y - 1)$ 的前缀和,最后再加上数组本身的 $(x, y)$

代码:

//原数组
int arr[110][110]={
    {},
    {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
    {0,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5},
    {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
    {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
    {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
    {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
    {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
    {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
    {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
    {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},
};

int sum[110][110]={0};//前缀和数组

//预处理
sum[1][1]=arr[1][1];
for(int i=2;i<=10;i++) {
    sum[1][i]=arr[1][i]+sum[1][i-1];
    sum[i][1]=arr[i][1]+sum[i-1][1];
}

//剩下的部分求和代码
for(int i=2;i<=10;i++){
    for(int o=2;o<=10;o++){
        sum[i][o]=sum[i-1][o]+sum[i][o-1]-sum[i-1][o-1]+arr[i][o];
    }
}

这样就求出来二维数组的前缀和

区间和:

求二维数组 $(x 1, y 1) - > (x 2, y 2)$ 的和 $(x 1 < = x 2) (y 1 < = y 2)$

求出前缀和之后,我们可以以 $O (1)$ 的速度求出来

在这里插入图片描述

求 $(x 1, y 1) - > (x 2, y 2)$ 的值应该等于 $(x 2, y 2)$ 的前缀和减去( $x 1 - 1, y 2), (x 2, y 1 - 1)$ 的前缀和再加上重叠部分 $(x 1 - 1, y 1 - 1)$ 的和就是 $(x 1, y 1) - > (x 2, y 2)$ 区间的和

代码:

int n;
cin>>n;
while(n-->0){
    int x1,y1,x2,y2;
    cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
    int S=sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1];
    cout<<S<<endl;
}