5、模逆隐藏数问题研究

模逆隐藏数问题研究

1. 引言

近年来，一些新的复杂度假设被用于构建高效的密码系统。例如，决策Diffie - Hellman假设（DDH）用于构建选择密文安全的加密方案和数论伪随机函数；强RSA假设用于构建高效的签名方案。本文引入了一类新的代数复杂度假设，即模逆隐藏数问题（MIHNP），并基于此构建了高效的数论伪随机数生成器（PRNG）和消息认证码（MAC），其基本步骤仅需对一个中等大小的素数进行模逆运算，无需昂贵的指数运算。

为描述基本的MIHNP，引入如下符号：对于一个m位素数p和y ∈ Zp，使用msbk(y mod p)表示满足|Y - y| < p/2k的任意整数Y ∈ Zp，即Y是y的一个近似值，通常与y的k个最高有效位匹配。在模p明确时，简记为msbk(y)，并定义Zp中0的逆为0，用希腊字符表示隐藏值。

基本的MIHNP问题实例如下：设p为固定的m位素数，k和n为正整数，α是Zp中的一个随机隐藏元素，给定p、k以及随机值x1, …, xn对应的(xi, msbk(1/(α + xi)))对，问题是找出α。δ - MIHNP假设指出，当k < δm时，不存在多项式时间算法解决基本的MIHNP问题。当n > 2(m/k)时，隐藏数α大概率是唯一确定的。我们给出了一个基于格的算法，当k > m/3时可解决该问题，并推测当k < m/3时该问题是困难的。此外，MIHNP与其他隐藏数问题（HNPs）密切相关，但与标准HNP不同，即使k是|p|的常数分数，MIHNP似乎仍然很难。

2. 近似模逆问题

介绍了基本MIHNP的几种变体并研究其性质：
- 计算型MIHNP（Com