6、模逆隐藏数问题：分析与密码学应用

模逆隐藏数问题：分析与密码学应用

1. 模逆隐藏数问题分析

在模逆隐藏数问题（MIHNP）的分析中，通过获取线性依赖关系，得到的关系数量最多为 $(d + 1)\binom{n}{d}(1 + o(1))$。并且，由于在阶段 $d$ 中仅对最多 $d$ 个 $f_i$ 进行相乘操作，每个关系的权重不超过 $d$。因此，所有关系的总权重有如下上限：
[weight(relations) \leq d \cdot (d + 1)\binom{n}{d}(1 + o(1))]
实际上，这个上限是紧密的，所得到的关系总权重至少为 $d^2\binom{n}{d}$。由此可以得出，在相应的格中，关系总权重与项总权重的比值满足：
[\frac{weight(relations)}{weight(terms)} \leq \frac{d \cdot (d + 1)\binom{n}{d}(1 + o(1))}{\binom{n}{d}(d + 1)(3d/2)(1 + o(1))} \leq \frac{2}{3} + o(1)]
更细致的分析甚至可以得到 $\frac{2}{3} - o(1)$ 的界限。

对于基本的 MIHNP 问题，当已知 $(α + x_i)^{-1} \bmod p$ 的超过 $\frac{1}{3}$ 的比特位时，该问题能够被高效解决。但当已知比特位少于 $\frac{1}{3}$ 时，即使有大量随机样本 $x_i$，该问题也被推测为困难问题。也就是说，当 $δ < \frac{1}{3}$ 时，$δ$-MIHNP 假设成立。

除了基本的 MIHNP 问题，还有其他变体。例如，给定成对的数据 $(x_i, β/(α +