分块算法

众所周知，这是一个十分暴力的算法，但是，他却站在了众多暴力算法的顶端，其看似简单实则十分玄妙的思想，牵扯出了一大串更加高端的算法。

进入正题

例题什么的不说了，因为分块的用法实在太广泛，为了不限制各位对分块美好的遐想，我还是直入主题吧。

分块可以用来维护一个序列。

对于这个长度为 $n$ 的序列，我们能将他分成 $\sqrt{n}$ 份，每份都含有 $\sqrt{n}$ 个元素（因为 $n$ 一般不是完全平方数，所以最后一块的元素数量可以少于 $\sqrt{n}$，问题不大），用一个belong数组记录下每一个元素属于哪一块，例如有一个含有 $10$ 个元素的序列，那么它的belong数组就是这样的：$1,1,1,2,2,2,3,3,3,4$，那么还需要一个 $l$ 数组，一个 $r$ 数组，分别记录每一块的左边界和右边界。

那么对于这样一个十分灵活的东西，用处也是非常多，经典的衍生算法有分段打表，莫队等等。这里以一个朴素的区间修改区间查询为例。

对于每一次对区间$[l,r]$的操作，一般长这个样子：

中间的蓝色部分是几个整块连在一起，我们可以事先处理好每一块的答案，这里直接用即可。

两边的紫色部分也很容易搞，直接暴力过一遍求解即可。

这是查询。

修改也类似，两边暴力改，中间打个lazy标记即可。

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分块的用途实在太多，有些仅仅是用到其思想，比如莫队算法，有些很巧妙的使用，比如分段打表。

那么什么时候使用分块算法呢？

分块算法有一个重要的限制，就是不同块的答案是可以快速合并的，满足了这一大要求，基本上就可以使用分块了。