混进杭二训练——Day1

废话

杭州是真的热的见鬼了……

光是走到学校就已经满头大汗了，但是虽然中午还热的一笔，却在下午来了一场小雨，这难道是要降温了吗！

祈祷一下它能降温吧……

进入正题

T1

【题目大意】

求区间 $[l,r]$ 中的合数的次大因子之和。
如 $8$ 的次大因子就是 $4$。

【样例输入】

1 10

【样例输出】

17

极不友好的【数据范围】

$1\le l\le r\le 5\times 10^9$

【题解】
分段打表，裸的。

好后悔之前居然没学这个高端的东西，这里有一道例题。

这里还是详细讲讲。（这里的笔记为个人感悟，因为根本就没听到讲题人在说什么qwq 当时实在是吵。。，所以，有什么讲的不好见见谅）

它可以处理这样的一类问题：

设有这样一个函数 $f(x)=wulala$，求${\sum }_{i=1}^{n}f(i)$

$f$ 函数很难求怎么办？不重要。

要是复杂度爆炸呢？不重要。

只有一个要求——能把 $f$ 函数求出来就行。至于时间复杂度，不重要。

因为，我们不是在码正解，我们只是答案的搬运工。

不管你以什么方式，只要能把 $f$ 函数的这个表打出来，那么这道题就算是AC一半了。

没错，先老老实实打表。

千辛万苦把表造出来之后，发现这个表太大了无法应用。

考虑压缩。

如何压缩？

考虑分块。

因为数据规模只有 $5\times 10^9$，开方之后，微不足道。

于是，我们将这个表分块，把答案压缩起来，最后像分块一样查询答案即可。

那么显然，这道题就是分段打表的裸题了。

T2

【题目大意】

给一棵树，有一个集合 $S$，满足 $S$ 中任意两点在树中的距离都大于等于 $L$，现在要使这个集合尽可能大，问最大能多大。

输入格式：先是 n，L，然后是n-1条边，每条边形如u , v , w，表示u和v之间有一条长度为w的边。

【样例输入】

4 5
1 2 3
2 3 3
3 4 5

【样例输出】

3

【数据范围】

$1\le n\le 5\times 10^5$
$1\le L,w\le 10^9$

【题解】

那个题解写的是真的玄学

这个题解先摆在这里：

题目描述
给定n个节点的树 ,要求在树上选择一个点集S,满足点集中的点距离两两之间均不小于L,要求最大化S并输出|S|,即点集S的大小
题解
考虑贪心,假设对于i的子树的答案,我们已经预处理出了i的所有孩子所对子树的答案,那么可以考虑贪心, 每次取出距离i号节点最近的2个节点,若其距离和小于L,那么删去最小的,直接维护复杂度为O(n^2)考虑利用线段树+启发式合并进行优化,复杂度为O(nlog2n)
由于数据随机,树高只有logn ,可以暴力进行归并排序,复杂度为O(nlogn)正解可以利用线段树合并或者左偏树合并堆进行维护,线段树合并可能常数较大不能通过,复杂度为O(nlogn)

我已经尽可能去理解这个东西了，要是写错了概不负责我也没办法了qwq。

那么详细讲讲上面这个东西：

现在假设x节点的儿子们都已经求出了答案（即找到了最大的合法点集，这个点集用可并堆维护，每个节点的权值为它到当前根的距离，造一个小根堆），那么现在取离x最近的两个节点（这两个节点要从儿子们的答案中取，并且要来自两个不同的儿子（这里如果想不明白为什么的话可以结合点分治的求解来思考一下）），假如他们之间的距离小于L，那么就删掉他们两个中离x更近的那一个（因为它更容易和别的点冲突，导致点集越来越小）。重复以上操作，直到只剩一个儿子中还有点或离x最近的两个点的距离大于等于L就停止。

然后将儿子们的答案合并起来。

最后看离x最近的那个节点到x的距离，假如大于等于L，那么将x也放入答案中。

然后走向x的父亲，重复上述操作。

这样看来，这个贪心貌似的确是正确的。

T3

我回来填坑了。（之前咕了3天

这道题真的是很玄学，题解最后一句话用了半天才理解。今天早上突然豁然开朗就赶紧记下来了。

【题目大意】

给你一个长度为$n$的序列$a$，现在问你有多少个长度为$2n$的序列$b$满足这样的条件：

1. 对于$1\le i\le n$，有$b_i|b_{i+n}$ $,$ $b_{i+n}|a_i$
2. ${\prod }_{i=1}^n{b}_i^2\ge {\prod }_{i=1}^n{b}_{i+n}$

【样例输入】

5
3 2 4 5 5

【样例输出】

249

【数据规模】

$1\le n\le 100$

$1\le a_i\le 10^9$

【题解】

这题的转化真的是很秀。

首先感性地将这个约束条件2拆开，约束条件就变成了：

满足${\prod }_{i=1}^n{b}_i^2>{\prod }_{i=1}^n{b}_{i+n}$   $or$   ${\prod }_{i=1}^n{b}_i^2={\prod }_{i=1}^n{b}_{i+n}$

先不管后面那个约束条件，先看前面这个。

对于$1\le i\le n$，假设我们现在找到了一组合法的$b$，满足上面两个条件。现在对$b_1$~$b_n$做一个转化，使得$b_i=\frac{b_{i+n}}{b_i}$，显然，转化过后$b_i$仍然是整数，我们称+这个转化过后的这个序列为对应序列。显然，每一组合法的序列$b$的对应序列满足这样一个性质：
$$\prod _{i=1}^n{b}_i^2<\prod _{i=1}^n{b}_{i+n}$$

证明：

设$b^{\prime }$为$b$的对应序列。

设$x={\prod }_{i=1}^n{b}_i$ , $y={\prod }_{i=1}^n{b}_i^{\prime }$ , $z={\prod }_{i=1}^n{b}_{i+n}$

显然满足$x\ast y=z$

$\because x^2>z$

$\therefore x>\sqrt{z}$

$\therefore y<\sqrt{z}$

$\therefore y^2<z$

证毕。

于是我们发现，每一个合法的 $b$ 序列，都一定有一个对应序列，且这个对应序列不合法。

也就是说，在所有满足条件 $1$ 的方案中，去掉等于的方案后，剩下的方案中，选到大于的方案的概率和选到小于的方案的概率是相同的，换句话说，各占一半。

于是假如能求出等于的方案数，用总方案数减去它再除 $2$，就得到大于的方案数了。

现在问题只剩一个：如何求等于的方案数？

注意到，如果 ${\prod }_{i=1}^n{b}_{i+n}$ 是完全平方数，那么肯定存在 ${\prod }_{i=1}^n{b}_i$，所以取出 $a_i$ 的平方因子做一下dp即可。

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今天下午老师花了半个小时左右讲了讲欧拉回路和哈密顿回路，虽然是因为中途加入，没听明白什么，但是好歹为以后的学习找到了点方向，所以收获也不小。

后面半个多小时讲上午的题，上面几个讲题人欢乐的很呐。。讲第三题的时候，这个讲一半，那个插进来，大手一挥，“我来讲我来讲”，于是将画图上的痕迹一抹而去，重新讲。最后听了半天，勉强是明白了第三题的一个重要的转化的思路，但是，讲题人却帅气的说：“讲完了，还有问题吗？”下面没人应他，于是，这题就过了。。。

因为实在太吵，而且第一题的做法也摸清楚了，第二题就没有继续听，偷偷溜回机房敲代码去了。

希望，明天等待我们的不再是模拟赛……