高斯消元

用途

高斯消元，顾名思义，是用来消元的。

它用来消线性方程组中的元。

实现

其实，高斯消元的本质就是我们小学学的加减消元和代入消元。由于其做法之暴力，它的时间复杂度是 $O(n^3)$ 的。

具体做法：

假设我们现在有 $n$ 个方程，含有 $n$ 个未知数，用它们的系数和值造一个矩阵，就是这个样子的：

$$\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& \cdots & a_{1,n}& w_1\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& \cdots & a_{2,n}& w_2\\ ⋮& & \ddots & & & \\ a_{n,1}& a_{n,2}& a_{n,3}& \cdots & a_{n,n}& w_3\end{array}\right)$$

那么，接下来利用 $a_{1,1}$ 这个系数，可以将下面 $2$ ~ $n$ 个方程中的第一个未知数消掉，也就是将它们的系数化为 $0$。

为了方便，首先将 $a_{1,1}$ 系数化 $1$，矩阵就变成了这个样子：
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& \frac{a_{1,2}}{a_{1,1}}& \frac{a_{1,3}}{a_{1,1}}& \cdots & \frac{a_{1,n}}{a_{1,1}}& \frac{w_1}{a_{1,1}}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& \cdots & a_{2,n}& w_2\\ ⋮& & \ddots & & & \\ a_{n,1}& a_{n,2}& a_{n,3}& \cdots & a_{n,n}& w_n\end{array}\right)$$
那么要使第 $i$ 个方程中的第一个未知数的系数化为 $0$，那么就将第一个方程乘上 $a_{i,1}$，然后相减即可。

做完这一切，$2$ ~ $n$ 个方程中的第一个未知数的系数就都变成 $0$ 了。继续做下去，就可以消得只剩一个未知数，那么就可以将它求出来，依次往回带，就求出了所有未知数的值。

代码：

double matrix[maxn][maxn];
double ans[maxn];
void gauss()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int p=i;//为了保证消元顺利的进行，那么当前的第i个方程的第i个未知数的系数就不能为0
		//显然，要是为0了，下面毛线都消不了，于是我们将绝对值最大的那个提到上面，作为第i个方程
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		if(fabs(matrix[j][i])>fabs(matrix[p][i]))p=j;
		if(p!=i)swap(matrix[p],matrix[i]);
		
		for(int j=n+1;j>=i;j--)//将第i个未知数的系数化一
		matrix[i][j]/=matrix[i][i];
		
		for(int j=i+1;j<=n;j++)//将下面的方程中第i个未知数的系数消掉
		for(int k=n+1;k>=i;k--)//注意枚举顺序
		matrix[j][k]-=matrix[i][k]*matrix[j][i];
	}
	ans[n]=matrix[n][n+1];//代回去求解
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		ans[i]=matrix[i][n+1];
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		ans[i]-=matrix[i][j]*ans[j];
	}
}

注意

如果出现某一个方程的系数全部为 $0$，那么说明方程组是无解或无数解的，这取决于那个方程的值。如果那个方程的值不为 $0$，就是无解，如果为 $0$，就是无数解。