洛谷 P4999 烦人的数学作业题解

最新推荐文章于 2024-10-13 22:13:25 发布

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本文介绍了一种使用数位动态规划解决区间内数字和问题的方法。通过定义状态转移方程，文章详细阐述了如何针对不同位数进行枚举，并考虑最高位的特殊情况。此外，还提供了完整的代码实现。

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题目大意： 问 $l$ ~ $r$ 区间每个数的数字和。

题解

分明就是数位dp呀。

设 $f [i]$ 表示 $i$ 位的数的数字和。显然枚举一下每一位填什么数，然后再乘其他位置有多少种情况即可，除了最高位不能填 $0$ ，其他位都是可以的，所以特殊处理一下最高位即可。至于位数与 $n$ 相同的，再分开处理一下就可以了。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
#define mod 1000000007ll

ll n,m;
ll f[20],p[20];
void work()//dp
{
    p[0]=1;
    for(ll i=1;i<=18;i++)//p[i]表示10^i
    p[i]=(p[i-1]*10)%mod;
    f[0]=0;//f意义如上所述
    for(int i=1;i<=18;i++)//枚举位数
    {
        for(int j=1;j<=9;j++)//枚举填什么数
        {
            f[i]=(f[i]+(ll)j*p[i-1]%mod)%mod;//把j填在最高位的情况
            if(i>1)f[i]=(f[i]+(ll)(i-1)*j%mod*p[i-2]%mod*9ll%mod)%mod;
            //把j填在2~i位的情况
        }
    }
}
int a[20],t;
ll solve(ll x)
{
    if(x==0)return 0;
    t=0;
    while(x>0)a[++t]=x%10,x/=10;
    ll ans=0,tot=a[t],sum=0;//tot记录前面已经搞过的位的数字和，结合下面代码即可理解
    for(int i=1;i<t;i++)//位数比x的位数小的直接记录答案
    sum=(sum+f[i])%mod;
    ans=sum;
    
    //处理位数与x相同的情况
    if(t!=1)
    for(int j=1;j<a[t];j++)//假如最高位比x的最高位小
    ans=((ans+sum)%mod+(ll)j*p[t-1]%mod)%mod;
    //再假设最高位与x的最高位相同，以同样的方法做后面的几位
    for(int i=t-1;i>1;i--)
    {
        sum=(sum-f[i]+mod)%mod;
        for(int j=0;j<a[i];j++)
        ans=((ans+sum)%mod+(tot+j)*p[i-1]%mod)%mod;
        tot+=a[i];
    }
    
    if(t==1)tot=0;//特殊处理一下第一位（即个位）
    for(int i=0;i<=a[1];i++)
    ans=((ans+tot)%mod+i)%mod;
    return ans;
}

int main()
{
    work();
    int tt;
    scanf("%d",&tt);
    while(tt--)
    {
        scanf("%lld %lld",&n,&m);
        printf("%lld\n",(solve(m)-solve(n-1)+mod)%mod);
    }
}