01背包问题/Ieee全球极限编程大赛11.0题BeetleBag题解/洛谷P1926 小书童——刷题大军题解

基础01背包问题

概述

给出一个容积为V的背包，有i个物体，每个物体都有自己的体积和价值，用Vi和Wi表示，要将这些物体装进背包里面，问怎样才能使得装入物体的总价值最大？最大为多少？

解决思路

1.如果你没能正确理解这道题，尤其是对于很多新手，第一反应可能是将所有物体的单位价值算出来，然后按从大到小排序，将单位价值高的物体优先放入背包······

我们来举个例子：现在你的背包体积为10，现在有4个物体，体积分别为1,3,5,7，价值分别为1,4,15,18；如果按单位价值来算15/5>18/7>4/3>1/1,所以现将体积为5的物体放入背包，那么接下来就只能依次放入体积为3和1的物体，这样的话总价值为20，但是显然放入体积为7和3的物体，总价值为22是最大的，那么这种放的方式怎么用算法表示出来呢？

2.算法思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象，建立模型，寻找约束条件，判断是否满足最优解原理，找大问题与小问题的递推关系式，填表，寻找解组成）找出01背包问题的最优解及解组成，然后编写代码实现。动态规划其实就是把大问题拆解成一个个的小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个的小问题，最终达到解决大问题的效果，且动态规划的优点在于填表（具有记忆性），可以理解成表中记录每个局部最优然后最终得到全局最优。

3.什么是填表：就是依次将背包容积从1开始递增，记录每一个容积下的最优解，然后通过该最优解推导下一个容积的最优解。这就涉及到一个嵌套循坏了，不仅要将体积从1开始递增，还需要将物体从第一个开始递增，即：将第一次循环只考虑第一个物体，遍历所有的容积，天第一行表，第二次循环考虑前两个物体，遍历所有体积，填第二行表·····（有多少个物体就填多少行表，一共有背包的总容积V列 ，每一行都从体积为1开始填一直到体积为V）

4.大问题与小问题的递推关系式：若有n个物体，背包总容积为m,由上述分析可知这个表应该为n*m（实际上要为(n+1)*(m+1)因为要初始化边缘行列为0），用dp[i][j]来表示该表的第i行第j列(表示考虑放前i个物体且背包容量为j时的最大放入价值)

对于每一个dp[i][j]每次就只需要考虑两种情况：

①背包体积不够放入第i个物体，则dp[i][j]=dp[i-1][j];

②背包体积足够放入第i个物体，但是放入之后剩余体积就变小了，所以需要联系上一行体积相同时的最大价值再加上i的价值和dp[i-1][j]进行比较，

即：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-Vi]+Wi)

5.最优解回溯：

①dp[i][j]=dp[i-1][j]时，说明没有选择第i个物体，则回到dp[i-1][j]；

②dp[i][j]=dp[i-1][j-Vi]+Wi时，说明选择了第i个物体，该物体是最优解的组成部分，随后我们回到选择该物体之前，即dp[i-1][j-Vi]；

③一直遍历到i=0结束为止，所有组成的解都会被找到

例题1：Ieee全球极限编程大赛11.0题BeetleBag

题目：

Beetleman joined the Strangers, a t