BZOJ 5460 LOJ #6060. 「2017 山东一轮集训 Day1 / SDWC2018 Day1」Set

最新推荐文章于 2020-02-07 19:24:51 发布

200815147

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分类专栏：线性基

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本文探讨了在给定一组非负整数的情况下，如何将其划分为两组以实现特定目标的问题。通过按位考虑并使用修改后的线性基方法，文章详细解释了如何在保证总异或和最大的前提下，使其中一个子集的异或和最小。代码示例展示了具体的实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出 n 个非负整数，将数划分成两个集合，记为 1 号集合和 2 号集合。 x1
为 1 号集合中所有数的异或和， x2 为 2 号集合中所有数的异或和。在最大化
x1+x2 的前提下，最小化 x1。

题解：

好题啊！
容易想到按位考虑，记所有数的异或和为 $S$ ，那么从高到低位考虑，若某个位上的数为 $1$ ，那么意味着这个位上一共有奇数个 $1$ ，无论怎么分配， $x_1$ 和 $x_2$ 这个位一定是一个 $1$ 和一个 $0$ ；如果为 $0$ ，且这个位不是所有数都为 $0$ ，那么一定可以分给 $x_1$ 和 $x_2$ 奇数个 $1$ 。
首先要满足 $x_1+x_2$ 的和最大，如果用普通的线性基是没法判断的，但如果将数插入线性基的顺序改一改，优先插入 $S$ 是 $0$ 的那些位，这样就能确保先满足 $x_1+x_2$ 最大的限制，然后由于 $S$ 是 $1$ 那些位的线性基不会对之前造成影响，所以也能确保 $x_1$ 最小。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int Maxn=100010;
const int inf=2147483647;
LL read()
{
	LL x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return x*f;
}
LL b[70],S=0,a[Maxn];int n;
void insert(LL x)
{
	for(int i=60;i>=0;i--)
	if(!(S&(1LL<<i))&&(x&(1LL<<i)))
	{
		if(!b[i]){b[i]=x;return;}
		x^=b[i];
	}
	for(int i=60;i>=0;i--)
	if((S&(1LL<<i))&&(x&(1LL<<i)))
	{
		if(!b[i]){b[i]=x;return;}
		x^=b[i];
	}
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)S^=(a[i]=read());
	for(int i=1;i<=n;i++)insert(a[i]);
	LL ans=0;
	for(int i=60;i>=0;i--)
	if(!(S&(1LL<<i))&&!(ans&(1LL<<i)))ans^=b[i];
	for(int i=60;i>=0;i--)
	if((S&(1LL<<i))&&(ans&(1LL<<i)))ans^=b[i];
	printf("%lld",ans);
}