hdu 1395 2^x mod n = 1 欧拉定理（当然可以直接暴力）

最新推荐文章于 2025-02-14 14:07:05 发布

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分类专栏：定理题简单题文章标签：定理

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定理题

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本文介绍了一种利用欧拉定理解决特定数学问题的方法，并通过编程实现找到最小循环。针对给定的整数n，当2和n互质时，通过计算n的欧拉函数及其因子来确定2的幂次模n等于1的最小指数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL __int64
LL t,e[1000];
LL mod;
LL euler_phi(LL n)//欧拉函数
{
    LL m=sqrt(n+0.5);
    LL ans=n,i;
    for(i=2;i<=m;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)n=n/i;
        }
    }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
void find(LL n)
{
    LL i;
    e[t++]=n;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            if(i*i==n)
                e[t++]=i;
            else
            {
                e[t++]=i;
                e[t++]=n/i;
            }
        }
    }
}
LL pows(LL a,LL b)
{
    LL s=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            s=(s*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b=b>>1;
    }
    return s;
}
int main()
{
    LL n;
    while(cin>>n)
    {
        if(n%2==0||n==1)
            cout<<"2^? mod "<<n<<" = 1"<<endl;
        else
        {
            LL m,ans,i,s=2;
            /*for(i=2;;i++)//直接暴力的方法
            {
                s=(s*2)%n;
                if(s==1)
                    break;
            }
            ans=i;*/
            m=euler_phi(n);
            t=0;
            find(m);
            sort(e,e+t);
            mod=n;
            for(i=0;i<t;i++)
            {
                if(pows(2,e[i])==1)
                {
                    ans=e[i];
                    break;
                }
            }
            cout<<"2^"<<ans<<" mod "<<n<<" = 1"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}
/*
    这题数据很水，可以直接暴力出来。
    我要讲的使用定理求解这道题：
    本题很容易发现n为偶数或者0时无解。所以2和n必定互质
    欧拉定理:a^(euler_phi(n))≡1(mod n),(a,n互质)
    其中euler_phi为欧拉函数，计算不超过n且与n互质的个数。求法是n*∏(pi-1)/pi,pi为n的质因子
    
    m=euler_phi(n);
    所以a^m%mod=1,不过m不一定是最小循环，但m是一个循环，则最小循环不定时m的一个因子，因而找出所有m的因子，暴力
    搜索下就OK了
*/