hdu 1395 2^x mod n = 1 暴力欧拉函数

最新推荐文章于 2021-10-25 16:52:03 发布

一叶之修

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分类专栏：数论

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本文探讨了如何找到满足2^xmodn=1的最小正整数x，通过逐步优化算法，从暴力搜索到利用欧拉定理，最终实现了高效求解。介绍了几种算法实现，并讨论了特殊情况下的处理方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1395

问题描述

给出一个数字n，找到满足2 ^ x mod n = 1的最小x（x> 0）。

输入

每行一个正整数，n的值。

产量

如果存在最小x，则打印一条2 ^ x mod n = 1的行。

打印2 ^ ？mod n = 1否则。

您应该用特定数字替换x和n。

样本输入

样本输出

2 ^ ？mod 2 = 1

2 ^ 4 mod 5 = 1

当什么都不知道的时候的暴力,循环1w次还是没找出来说明就没有了，循环次数越大越不容易WA

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;

int main(){//2^x mod n = 1
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n)){
        if(n<=2)
            printf("2^? mod %d = 1\n",n);
        else{
            int x=2;
            int ans=1;
            while(x%n!=1 && ans<=10000){
                x=2*x%n;
                ans++;
            }
            if(ans>=10000)
                printf("2^? mod %d = 1\n",n);
            else
                printf("2^%d mod %d = 1\n",ans,n);
        }

    }

	return 0;
}

知道点推论的时候，发现n为2的倍数都不行

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;

int main(){//2^x mod n = 1
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n)){
        if(n<=2 || n%2==0)
            printf("2^? mod %d = 1\n",n);
        else{
            int x=2;
            int ans=1;
            while(x%n!=1){
                x=2*x%n;
                ans++;
            }

            printf("2^%d mod %d = 1\n",ans,n);
        }

    }

	return 0;
}

欧拉

定理：

设gcd(a,m)=1，必有正整数x，使得a^x=1(mod m),且设满足等式的最小正整数为x0，必满足x0|phi（m）.注意m>1.

否则如果gcd(a,m)!=1，则方程a^x=1(mod m)没有解。

典型题目：HDU1395，HDU3307，POJ3696

根据上面的定理，我们需要先把phi(n)找出来

当a与n不互质的时候，肯定不存在，否则x的最大值是x的欧拉函数，所以要从x的欧拉函数的因子中筛，考虑此题的数据范围，欧拉函数直接求，gcd用二进制，

满足a^x≡1(mod n)的最小正整数x称为a模n的阶。

现给出两个正整数，求x。

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cmath>
using namespace std;
#define SIZE 655
//筛法求欧拉函数
int Euler[SIZE] = {0};
void sieve(){
    Euler[1] = 1;
    for(int i=2;i<SIZE;++i){
        if ( Euler[i] ) continue;
 
        for(int j=i;j<SIZE;j+=i){
            if ( !Euler[j] ) Euler[j] = j;
 
            Euler[j] = Euler[j] / i * ( i - 1 );
        }
    }
}
typedef int int_t;
int_t gcd(int_t a,int_t b){
    while( b ){
        int_t r = b;
        b = a % b;
        a = r;
    }
    return a;
}
//快速GCD
int Fastgcd(int a, int b)
{
    if (a == 0) return b;
    if (b == 0) return a;
    if (!(a & 1) && !(b & 1))
        return Fastgcd(a>>1, b>>1)<<1;
    else if (!(b & 1))
    return Fastgcd(a, b>>1);
    else if (!(a & 1)) return Fastgcd(a>>1, b);
    else return Fastgcd(abs(a - b), min(a, b));
}
int euler_phi(int n)
{
    int m = floor(sqrt(n+0.5));
    int ans = n;
    for(int i = 2; i <= m; i++) if(n%i == 0)
    {
        ans = ans / i * (i-1);
        while(n%i == 0)
        {
            n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans / n *(n-1);
    return ans;
}
//计算a^b%mod
typedef long long llt;
llt powerMod(llt a,llt b,llt mod){
    llt ret = 1LL;
    a %= mod;
    while( b ){
        if ( b & 1LL ) ret = ret*a % mod,--b;//multiMod(ret,a,mod),--b;
        b >>= 1LL;
        a = a*a%mod;//multiMod(a,a,mod);
    }
    return ret;
}
 
int main(){
    //sieve();
    int k;scanf("%d",&k);
    while(k--){
        int a,n;
        scanf("%d%d",&a,&n);
        if ( Fastgcd(a,n) == 1){
            //printf("%d\n",Euler[n]);
            int tmp = euler_phi(n);
            int ans = INT_MAX;
            for (int i = 1;i*i <= tmp;++i){
                if ( tmp % i  ) continue;
                if (1 == powerMod( a,i,n) ) ans = min(ans,i);
                if (1 == powerMod( a,tmp/i,n)) ans = min(ans,tmp/i);
            }
            printf("%d\n",ans);
        }
        else
            printf("-1\n");
    }
    return 0;
}