题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1395
问题描述
给出一个数字n,找到满足2 ^ x mod n = 1的最小x(x> 0)。
输入
每行一个正整数,n的值。
产量
如果存在最小x,则打印一条2 ^ x mod n = 1的行。
打印2 ^ ?mod n = 1否则。
您应该用特定数字替换x和n。
样本输入
2
5
样本输出
2 ^ ?mod 2 = 1
2 ^ 4 mod 5 = 1
当什么都不知道的时候的暴力,循环1w次还是没找出来说明就没有了,循环次数越大越不容易WA
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){//2^x mod n = 1
ll n;
while(~scanf("%lld",&n)){
if(n<=2)
printf("2^? mod %d = 1\n",n);
else{
int x=2;
int ans=1;
while(x%n!=1 && ans<=10000){
x=2*x%n;
ans++;
}
if(ans>=10000)
printf("2^? mod %d = 1\n",n);
else
printf("2^%d mod %d = 1\n",ans,n);
}
}
return 0;
}
知道点推论的时候,发现n为2的倍数都不行
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){//2^x mod n = 1
ll n;
while(~scanf("%lld",&n)){
if(n<=2 || n%2==0)
printf("2^? mod %d = 1\n",n);
else{
int x=2;
int ans=1;
while(x%n!=1){
x=2*x%n;
ans++;
}
printf("2^%d mod %d = 1\n",ans,n);
}
}
return 0;
}
欧拉
定理:
设gcd(a,m)=1,必有正整数x,使得a^x=1(mod m),且设满足等式的最小正整数为x0,必满足x0|phi(m).注意m>1.
否则如果gcd(a,m)!=1,则方程a^x=1(mod m)没有解。
典型题目:HDU1395,HDU3307,POJ3696
根据上面的定理,我们需要先把phi(n)找出来
当a与n不互质的时候,肯定不存在,否则x的最大值是x的欧拉函数,所以要从x的欧拉函数的因子中筛,考虑此题的数据范围,欧拉函数直接求,gcd用二进制,
满足a^x≡1(mod n)的最小正整数x称为a模n的阶。
现给出两个正整数,求x。
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cmath>
using namespace std;
#define SIZE 655
//筛法求欧拉函数
int Euler[SIZE] = {0};
void sieve(){
Euler[1] = 1;
for(int i=2;i<SIZE;++i){
if ( Euler[i] ) continue;
for(int j=i;j<SIZE;j+=i){
if ( !Euler[j] ) Euler[j] = j;
Euler[j] = Euler[j] / i * ( i - 1 );
}
}
}
typedef int int_t;
int_t gcd(int_t a,int_t b){
while( b ){
int_t r = b;
b = a % b;
a = r;
}
return a;
}
//快速GCD
int Fastgcd(int a, int b)
{
if (a == 0) return b;
if (b == 0) return a;
if (!(a & 1) && !(b & 1))
return Fastgcd(a>>1, b>>1)<<1;
else if (!(b & 1))
return Fastgcd(a, b>>1);
else if (!(a & 1)) return Fastgcd(a>>1, b);
else return Fastgcd(abs(a - b), min(a, b));
}
int euler_phi(int n)
{
int m = floor(sqrt(n+0.5));
int ans = n;
for(int i = 2; i <= m; i++) if(n%i == 0)
{
ans = ans / i * (i-1);
while(n%i == 0)
{
n /= i;
}
}
if(n > 1) ans = ans / n *(n-1);
return ans;
}
//计算a^b%mod
typedef long long llt;
llt powerMod(llt a,llt b,llt mod){
llt ret = 1LL;
a %= mod;
while( b ){
if ( b & 1LL ) ret = ret*a % mod,--b;//multiMod(ret,a,mod),--b;
b >>= 1LL;
a = a*a%mod;//multiMod(a,a,mod);
}
return ret;
}
int main(){
//sieve();
int k;scanf("%d",&k);
while(k--){
int a,n;
scanf("%d%d",&a,&n);
if ( Fastgcd(a,n) == 1){
//printf("%d\n",Euler[n]);
int tmp = euler_phi(n);
int ans = INT_MAX;
for (int i = 1;i*i <= tmp;++i){
if ( tmp % i ) continue;
if (1 == powerMod( a,i,n) ) ans = min(ans,i);
if (1 == powerMod( a,tmp/i,n)) ans = min(ans,tmp/i);
}
printf("%d\n",ans);
}
else
printf("-1\n");
}
return 0;
}