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有界秩宽图的线性时间算法
1. 一元二阶逻辑（MSO）基础
一元二阶逻辑（MSO）是一阶逻辑的扩展，它允许对对象集合进行量化。下面介绍一些相关的基本概念：
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词汇表（Vocabulary）
：词汇表 $\tau$ 是一个有限的关系符号集合 $P, Q, R, \ldots$，每个符号都与一个自然数（称为其元数）相关联。
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$\tau$-结构
：$\tau$-结构 $A$ 由一个集合 $A$（称为 $A$ 的全域）和对于 $\tau$ 中每个 $p$ 元关系符号 $R$ 的一个 $p$ 元关系 $R^A \subseteq A^p$ 组成。
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图的表示
：图可以自然地表示为关系结构，其全域为顶点集，词汇表由一个单一的二元（边）关系符号组成。对于 $t$-标记图 $G$，可以使用由二元关系符号 $E$（表示边关系）和 $t$ 个一元关系符号 $L_1, \ldots, L_t$（其中 $L_i$ 表示标记为 $i$ 的顶点集）组成的词汇表 $\tau$ 来表示。
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公式的量词秩
：公式 $\phi$ 的量词秩 $qr(\phi)$ 是其中出现的嵌套量词的最大数量。
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自由变量
：公式中的变量如果不在量词的作用域内，则称为自由变量。用 $free(\phi)$ 表示 $\phi$ 的自由变量集合。没有自由变量的公式称为句子。
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赋值
：在 $A$ 中的赋值是一个函数 $\alpha$，它为 $\phi$ 的自由变量赋值。对于变量 $x$ 和赋值 $\alpha$，$\alpha[x/a]$ 表示一个赋值，它与 $\alpha$ 相同，除了将 $x$ 的值赋为 $a$。如果当 $\phi$ 的自由变量被赋予 $\alpha$ 给出的值时，$\phi$ 在 $A$ 中成立，则记为 $A \models \phi[\alpha]$。
2. $\equiv_{MSO}^q$ 关系及其刻画
给定一个词汇表 $\tau$ 和一个自然数 $q$，可以在 $\tau$-结构类上定义一个等价关系：对于 $\tau$-结构 $A$ 和 $B$ 以及 $q \in \mathbb{N}$，定义 $A \equiv_{MSO}^q B$（$q$-等价）当且仅当对于所有量词秩至多为 $q$ 的 MSO 句子 $\phi$，都有 $A \models \phi \Leftrightarrow B \models \phi$。换句话说，两个结构是 $q$-等价的，当且仅当没有量词秩至多为 $q$ 的句子可以区分它们。
为了刻画 $\equiv_{MSO}^q$ 关系，引入了深度为 $q$ 的特征树的概念。可以证明，两个 $\tau$-结构 $A$ 和 $B$ 具有相同深度为 $q$ 的特征树，当且仅当 $A \equiv_{MSO}^q B$。特征树特别有用，因为它们的大小“小”，并且对于有界秩宽的图，在给定其解析树分解的情况下可以有效地构造。
在介绍特征树之前，先给出一些相关的定义：
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诱导结构和序列
：设 $A$ 是一个 $\tau$-结构，其全域为 $A$，$\overline{c} = c_1, \ldots, c_m \in A^m$。由 $\overline{c}$ 诱导的结构 $A’ = A[\overline{c}] = A[{c_1, \ldots, c_m}]$ 是一个 $\tau$-结构，其全域为 $A’ = {c_1, \ldots, c_m}$，并且对于 $\tau$ 中每个 $r$ 元关系符号 $P$，其解释为 $P^{A’} := P^A \cap {c_1, \ldots, c_m}^r$。对于任意对象序列 $\overline{c} = c_1, \ldots, c_m$ 和集合 $U$，$\overline{c}[U]$ 是 $\overline{c}$ 中仅包含 $U$ 中对象的子序列。对于集合序列 $\overline{C} = C_1, \ldots, C_p$，$\overline{C} \cap A$ 表示序列 $C_1 \cap U, \ldots, C_p \cap U$，$\overline{C} \cap \overline{c}$ 表示 $C_1 \cap {c_1, \ldots, c_m}, \ldots, C_p \cap {c_1, \ldots, c_m}$。
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部分同构
：设 $A$ 和 $B$ 是 $\tau$-结构，其全域分别为 $A$ 和 $B$，$\pi$ 是一个映射，其定义域 $\text{domain}(\pi) \subseteq A$，值域 $\text{range}(\pi) \subseteq B$。如果 $\pi$ 是一一对应且满射，并且对于 $\tau$ 中每个 $p$ 元关系符号 $R$ 和所有 $a_1, \ldots, a_p \in \text{domain}(\pi)$，都有 $R^A a_1, \ldots, a_p$ 当且仅当 $R^B \pi(a_1), \ldots, \pi(a_p)$，则称 $\pi$ 是从 $A$ 到 $B$ 的部分同构。如果 $\text{domain}(\pi) = A$ 且 $\text{range}(\pi) = B$，则 $\pi$ 是 $A$ 和 $B$ 之间的同构，$A$ 和 $B$ 是同构的。
为了捕捉向量 $\overline{c}$ 中元素的顺序和多重性，引入了有序诱导结构的概念：
设 $U$ 是一个集合，$\equiv$ 是 $U$ 上的一个等价关系。对于 $u \in U$，$[u]
{\equiv} = { u’ \in U | u \equiv u’ }$ 是 $u$ 在 $\equiv$ 下的等价类，$U/\equiv = { [u]
{\equiv} | u \in U }$ 是 $U$ 在 $\equiv$ 下的商空间。向量 $\overline{c} = c_1, \ldots, c_m \in A^m$ 在集合 $[m] = {1, \ldots, m}$ 上定义了一个自然的等价关系 $\equiv_{\overline{c}}$：对于 $i, j \in [m]$，$i \equiv_{\overline{c}} j$ 当且仅当 $c_i = c_j$。为了简单起见，用 $[i]
{\overline{c}}$ 表示 $[i]
{\equiv_{\overline{c}}}$。
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有序诱导结构
：设 $A$ 是一个 $\tau$-结构，$\overline{c} = c_1, \ldots, c_m \in A^m$。由 $\overline{c}$ 诱导的有序结构是 $\tau$-结构 $H = Ord(A, \overline{c})$，其全域为 $H = [m]/\equiv_{\overline{c}}$，使得映射 $h: c_i \mapsto [i]
{\overline{c}}$（$1 \leq i \leq m$）是 $A[\overline{c}]$ 和 $H$ 之间的同构。因此，$Ord(A, \overline{c})$ 只是将 $A[\overline{c}]$ 中的元素 $c_i$ 称为 $[i]
{\overline{c}}$ 的结构。设 $\overline{C} = C_1, \ldots, C_p$，其中 $C_i \subseteq A$（$1 \leq i \leq p$）。则 $Ord(A, \overline{c}, \overline{C}) := (Ord(A, \overline{c}), \overline{h}, h(\overline{C} \cap \overline{c}))$，其中 $h: c_i \mapsto [i]_{\overline{c}}$（$1 \leq i \leq m$），$\overline{h} = h(1), \ldots, h(m)$，$h(\overline{C} \cap \overline{c}) = h(C_1 \cap \overline{c}), \ldots, h(C_p \cap \overline{c})$。
3. 模型检查游戏和特征树
测试一个非空结构是否满足一个公式可以通过模型检查游戏（也称为 Hintikka 游戏）来指定。设 $A$ 是一个 $\tau$-结构，其全域为 $A$，$\phi$ 是一个公式，$\alpha$ 是对 $\phi$ 的自由变量的赋值。游戏由两个玩家（验证者和反驳者）进行。验证者试图证明 $A \models \phi[\alpha]$，而反驳者试图反驳这一点。假设 $\phi$ 处于否定范式（即 $\phi$ 中的否定只出现在原子级别），这可以通过应用简单的重写规则（如 $\neg \forall x \phi(x) \equiv \exists x \neg \phi(x)$）来实现。
模型检查游戏 $MC(A, \phi, \alpha)$ 是位置性的，其位置为 $(\psi, \beta)$，其中 $\psi$ 是 $\phi$ 的子公式，$\beta$ 是对 $\psi$ 的自由变量的赋值。游戏从位置 $(\phi, \alpha)$ 开始。在位置 $(\forall X \psi(X), \beta)$，反驳者选择一个子集 $D \subseteq A$，游戏继续在位置 $(\psi, \beta[X/D])$。类似地，在位置 $(\forall x \psi(x), \beta)$ 或 $(\psi_1 \land \psi_2, \beta)$，反驳者选择一个元素 $d \in A$ 或某个 $\psi := \psi_i$（$1 \leq i \leq 2$），游戏分别继续在位置 $(\psi, \beta[x/d])$ 或 $(\psi, \beta)$。验证者在存在量词公式处进行类似的移动。如果选择的是元素，则该移动称为点移动；如果选择的是集合，则该移动称为集合移动。游戏在到达位置 $(\psi, \beta)$（其中 $\psi$ 是原子或否定公式）时结束。验证者获胜当且仅当 $A \models \psi[\beta]$。
一个 $\tau$-结构 $A$ 和量词秩为 $q$ 的公式 $\phi$ 的模型检查游戏可以用一个深度为 $q$ 的树表示，其中节点表示游戏中的位置，边表示玩家的点移动和集合移动。这样的树称为游戏树，用于组合博弈论中分析游戏。
为了模拟模型检查游戏，定义了全特征树的概念：
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全特征树
：设 $A$ 是一个 $\tau$-结构，其全域为 $A$，$q \in \mathbb{N}$。对于元素 $\overline{c} = c_1, \ldots, c_m \in A^m$，集合 $\overline{C} = C_1, \ldots, C_p$（其中 $C_i \subseteq A$，$1 \leq i \leq p$），设 $T = FC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$ 是一个有限根树，使得：
- 根节点 $root(T) = (A[\overline{c}], \overline{c}, \overline{C} \cap \overline{c})$。
- 如果 $m + p + 1 \leq q$，则 $FC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$ 的根节点的子树集合为 ${ FC_q(A, \overline{c}d, \overline{C}) | d \in A } \cup { FC_q(A, \overline{c}, \overline{C}D) | D \subseteq A }$。
$A$ 的深度为 $q$ 的全特征树记为 $FC_q(A)$，定义为 $FC_q(A, \varepsilon, \varepsilon)$，其中 $\varepsilon$ 是空序列。
可以在全特征树 $F = FC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$ 和量词秩 $qr(\phi) \leq q$ 的公式 $\phi$ 上定义模型检查游戏 $MC(F, \phi, \overline{x}, \overline{X})$，其规则与经典的模型检查游戏 $MC(A, \phi, \alpha)$ 类似。
以下是相关的引理：
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引理 1
：设 $A$ 是一个 $\tau$-结构，$\phi$ 是一个 MSO 公式，$\alpha$ 是对 $\phi$ 的自由变量的赋值。则 $A \models \phi[\alpha]$ 当且仅当验证者在模型检查游戏 $MC(A, \phi, \alpha)$ 中有获胜策略。
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引理 2
：设 $A$ 是一个 $\tau$-结构，$\phi$ 是一个 MSO 公式，其量词秩 $qr(\phi) \leq q$，自由变量为 ${x_1, \ldots, x_m, X_1, \ldots, X_m}$，$\alpha$ 是对 $\phi$ 的自由变量的赋值。则验证者在模型检查游戏 $MC(A, \phi, \alpha)$ 中有获胜策略当且仅当验证者在模型检查游戏 $MC(FC_q(A, \overline{c}, \overline{C}), \phi, \overline{x}, \overline{X})$ 中有获胜策略，其中 $\overline{c} = \alpha(x_1), \ldots, \alpha(x_m)$，$\overline{C} = \alpha(X_1), \ldots, \alpha(X_p)$。
全特征树的大小为 $(2n + n)^q$，其中 $n$ 是 $A$ 的全域中元素的数量。为了减小树的大小，引入了简化特征树的概念：
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简化特征树
：设 $A$ 是一个 $\tau$-结构，$q \in \mathbb{N}$。对于元素 $\overline{c} = c_1, \ldots, c_m \in A^m$，集合 $\overline{C} = C_1, \ldots, C_p$（其中 $C_i \subseteq A$，$1 \leq i \leq p$），设 $RC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$ 是一个有限根树，使得：
- 根节点 $root(RC_q(A, \overline{c}, \overline{C})) = Ord(A, \overline{c}, \overline{C})$。
- 如果 $m + p + 1 \leq q$，则 $RC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$ 的根节点的子树集合为 ${ RC_q(A, \overline{c}d, \overline{C}) | d \in A } \cup { RC_q(A, \overline{c}, \overline{C}D) | D \subseteq A }$。
$A$ 的深度为 $q$ 的简化特征树记为 $RC_q(A)$，定义为 $RC_q(A, \varepsilon, \varepsilon)$，其中 $\varepsilon$ 是空序列。
可以在简化特征树 $R = RC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$ 上定义模型检查游戏 $MC(R, \phi, \overline{x}, \overline{X})$，其规则与在全特征树上的模型检查游戏相同。
以下是相关的引理和推论：
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引理 3
：设 $A$ 是一个 $\tau$-结构，$q \in \mathbb{N}$，$\overline{c} = c_1, \ldots, c_m \in A^m$，$\overline{C} = C_1, \ldots, C_p$（其中 $C_i \subseteq A$，$1 \leq i \leq p$），$F = FC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$，$R = RC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$。则验证者在模型检查游戏 $MC(F, \phi, \overline{x}, \overline{X})$ 中有获胜策略当且仅当验证者在游戏 $MC(R, \phi, \overline{x}, \overline{X})$ 中有获胜策略，其中 $\phi \in MSO(\tau)$，其量词秩 $qr(\phi) \leq q$，自由对象变量为 $\overline{x} = x_1, \ldots, x_m$，自由集合变量为 $\overline{X} = X_1, \ldots, X_p$。
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推论 1
：设 $A$ 和 $B$ 是 $\tau$-结构，$q \in \mathbb{N}$。则 $RC_q(A) = RC_q(B)$ 当且仅当 $A \equiv_{MSO}^q B$。
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引理 4
：设 $A$ 是一个 $\tau$-结构，其全域为 $A$，使得 $\tau$ 中每个关系符号的元数至多为 $r$，$q \in \mathbb{N}$。则对于所有可能的 $\overline{c}, \overline{C}$ 的选择，简化特征树 $RC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$ 的数量至多为 $\text{exp}(q + 1)(|\tau| \cdot qr + q \log q + q^2)$。简化特征树 $RC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$ 的大小至多为 $(\text{exp}(q)(|\tau| \cdot qr + q \log q + q^2))^4$。
4. 构建特征树
接下来介绍如何在给定 $t$-标记图 $G$ 的 $t$-标记解析树分解的情况下，构建深度为 $q$ 的简化特征树。
一个 $t$-标记图可以表示为 $\tau$-结构，其中 $\tau = {E, L_1, \ldots, L_t}$。符号 $E$ 是一个二元关系符号，表示边关系，$L_i$（$1 \leq i \leq t$）是一个一元关系符号，表示标记为 $i$ 的顶点集。
- 引理 5 ：设 $A$ 是一个 $\tau$-结构，$|A| = 1$，$q \geq 0$，$\overline{c} \in A^m$，$\overline{C} = C_1, \ldots, C_p$（其中 $C_i \subseteq A$，$1 \leq i \leq p$）。则对于每个固定的 $q$，可以在常数时间内构建 $RC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$。
设 $A_1, A_2$ 和 $A = A_1 \otimes A_2$ 是 $\tau$-结构，其中 $\otimes = \otimes[g|f_1, f_2]$ 用于 $t$-重标记 $g, f_1, f_2$。假设 $A_1$ 和 $A_2$ 的全域是不相交的。对于一个固定的常数 $q \geq 0$，设 $m$ 和 $p$ 是非负整数，使得 $m + p \leq q$，$\overline{c} = c_1, \ldots, c_m \in (A_1 \cup A_2)^m$，$\overline{C} = C_1, \ldots, C_p$，其中 $C_j \subseteq A_1 \cup A_2$（$1 \leq j \leq p$）。对于 $i \in {1, 2}$，$\overline{c} i = c {i,1}, \ldots, c_{i,m_i} = \overline{c}[A_i]$。
为了构建 $RC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$，需要知道 $\overline{c}
1$ 和 $\overline{c}_2$ 中的元素在 $\overline{c}$ 中出现的顺序，因此引入了指示向量的概念：
-
指示向量
：$\overline{c} = c_1, \ldots, c_m$ 的指示向量记为 $\text{ind}(A_1, A_2, \overline{c})$，是向量 $\overline{d} = d_1, \ldots, d_m$，使得对于 $i \in {1, 2}$ 和所有 $1 \leq j \leq m$，$d_j = (i, k)$ 当且仅当 $c_j = c
{i,k}$。即 $d_j = (i, k)$ 当且仅当 $c_j$ 是向量 $\overline{c}
i = \overline{c}[A_i]$ 中的第 $k$ 个元素。如果 $\overline{d} = d_1, \ldots, d_m$ 且 $(i, k) \in {1, 2} \times [m + 1]$，则用 $\overline{d}(i, k)$ 表示向量 $d_1, \ldots, d
{m + 1}$，其中 $d_{m + 1} = (i, k)$。
构建 $R = RC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$ 的步骤如下：
1.
构建根节点的标签
：构建 $root(R) = Ord(A, \overline{c}, \overline{C})$ 的标签。由于 $Ord(A, \overline{c}) \cong A[\overline{c}]$ 且 $A_i[\overline{c}
i] \cong Ord(A_i, \overline{c}_i)$，可以得到 $Ord(A, \overline{c}) \cong Ord(A_1, \overline{c}_1) \otimes Ord(A_2, \overline{c}_2)$。因此，只需要以适当的方式重命名 $Ord(A_1, \overline{c}_1) \otimes Ord(A_2, \overline{c}_2)$ 中的元素。元素重命名的信息存储在 $\overline{c}$ 的指示向量 $\overline{d}$ 中。
2.
递归构建子树
：定义树的交叉积 $R_1 \times
{(q, \otimes, \overline{d})} R_2$，并证明 $R = R_1 \times_{(q, \otimes, \overline{d})} R_2$。树交叉积的根节点为 $root(R_1) \otimes_{\overline{d}} root(R_2)$。对于子树的构建，每个 $R$ 的子树对应于一个集合移动 $U \subseteq A$ 或一个点移动 $a \in A$。由于 ${ U \subseteq A } = { U_1 \uplus U_2 | U_1 \subseteq A_1, U_2 \subseteq A_2 }$ 且 $A = A_1 \uplus A_2$，可以通过递归地组合 $A_1$ 中集合 $U_1$ 的子树和 $A_2$ 中集合 $U_2$ 的子树（以下定义中的集合 $S_2$），以及选择 $A_1$ 中进行点移动的 $R_1$ 的子树和 $A_2$ 中进行点移动的 $R_2$ 的子树（以下定义中的集合 $S_1$）来重建 $R$ 的子树。
-
树交叉积的定义 ：设 $A_1$ 和 $A_2$ 是 $\tau$-结构，$\otimes = \otimes[g|f_1, f_2]$ 用于 $t$-重标记 $g, f_1, f_2$。对于一个固定的常数 $q \geq 0$，设 $m$ 和 $p$ 是非负整数，使得 $m + p \leq q$。设 $\overline{c} = c_1, \ldots, c_m \in (A_1 \cup A_2)^m$，$\overline{C} = C_1, \ldots, C_p$，其中 $C_j \subseteq A_1 \cup A_2$（$1 \leq j \leq p$）。对于 $i \in {1, 2}$，$\overline{c} i = c {i,1}, \ldots, c_{i,m_i} = \overline{c}[A_i]$，$q_i \geq q - m - p$，$R_i = RC_{q_i}(A_i, \overline{c} i, \overline{C} \cap A_i)$，其根节点为 $root(R_i) = (H_i, \overline{c}’_i, \overline{C}’_i) = Ord(A_i, \overline{c}_i, \overline{C} \cap A_i)$。定义 $R_1$ 和 $R_2$ 的树交叉积 $R = R_1 \times {(q, \otimes, \overline{d})} R_2$ 为一个有限根树，使得：
- 根节点 $root(R) = root(R_1) \otimes_{\overline{d}} root(R_2)$。
-
如果 $m + p + 1 \leq q$，则子树集合 $subtrees(R) = S_1 \cup S_2$，其中：
- $S_1 = { subtree_{R_1}(u_1) \times_{(q, \otimes, \overline{d}(1, m_1 + 1))} R_2 | u_1 = (H’ 1, \overline{c}’_1 c, \overline{C}’_1) \in children {R_1}(root(R_1)) } \cup { R_1 \times_{(q, \otimes, \overline{d}(2, m_2 + 1))} subtree_{R_2}(u_2) | u_2 = (H’ 2, \overline{c}’_2 c, \overline{C}’_2) \in children {R_2}(root(R_2)) }$。
- $S_2 = { subtree_{R_1}(u_1) \times_{(q, \otimes, \overline{d})} subtree_{R_2}(u_2) | u_i = (H’ i, \overline{c}’_i, \overline{C}’_i D_i) \in children {R_i}(root(R_i)), 1 \leq i \leq 2 }$。
-
引理 6 ：设 $A_1$ 和 $A_2$ 是 $\tau$-结构，$\otimes = \otimes[g|f_1, f_2]$ 用于 $t$-重标记 $g, f_1, f_2$，$\overline{c} = c_1, \ldots, c_m \in (A_1 \cup A_2)^m$，$\overline{C} = C_1, \ldots, C_p$，其中 $C_j \subseteq A_1 \cup A_2$（$1 \leq j \leq p$），$\overline{d} = \text{ind}(A_1, A_2, \overline{c})$。则 $Ord(A_1 \otimes A_2, \overline{c}, \overline{C}) = Ord(A_1, \overline{c}[A_1], \overline{C} \cap A_1) \otimes_{\overline{d}} Ord(A_2, \overline{c}[A_2], \overline{C} \cap A_2)$。
- 引理 7 ：设 $A_1$ 和 $A_2$ 是 $\tau$-结构，$\otimes = \otimes[g|f_1, f_2]$ 用于 $t$-重标记 $g, f_1, f_2$，非负整数 $q, m, p$ 满足 $m + p \leq q$，$\overline{c} = c_1, \ldots, c_m \in (A_1 \cup A_2)^m$，$\overline{C} = C_1, \ldots, C_p$，其中 $C_j \subseteq A_1 \cup A_2$（$1 \leq j \leq p$），$\overline{d} = \text{ind}(A_1, A_2, \overline{c})$，对于 $1 \leq i \leq 2$，$q_i \geq q - m - p$。则 $RC_q(A_1 \otimes A_2, \overline{c}, \overline{C}) = RC_{q_1}(A_1, \overline{c} 1, \overline{C} \cap A_1) \times {(q, \otimes, \overline{d})} RC_{q_2}(A_2, \overline{c}_2, \overline{C} \cap A_2)$。
- 引理 8 ：给定 $R_1$ 和 $R_2$，可以在时间 $\text{poly}(|R_1|, |R_2|)$ 内计算树交叉积 $R_1 \times_{(q, \otimes, \overline{d})} R_2$，其中 $|R_i|$ 表示 $R_i$ 中的节点数。
最后，可以证明主要定理：
-
主要定理证明
：不失一般性，假设 $G$ 至少有一个顶点。否则，决定 $G \models \phi$ 需要常数时间。根据引理 1、2 和 3，为了证明 $G \models \phi$，只需证明验证者在模型检查游戏 $MC(RC_q(G), \phi, \epsilon, \epsilon)$ 中有获胜策略。
下面用 mermaid 绘制构建简化特征树的流程图：
graph TD
A[开始] --> B[输入t - 标记图G及其t - 标记解析树分解]
B --> C{|A| = 1?}
C -- 是 --> D[常数时间构建RC_q(A, ¯c, ¯C)]
C -- 否 --> E[计算指示向量¯d = ind(A1, A2, ¯c)]
E --> F[构建root(R) = Ord(A, ¯c, ¯C)的标签]
F --> G[定义树交叉积R1 ×(q, ⊗, ¯d) R2]
G --> H[递归构建子树]
D --> I[结束]
H --> I[结束]
总结一下，本文介绍了一元二阶逻辑（MSO）、$\equiv_{MSO}^q$ 关系及其刻画、模型检查游戏、全特征树和简化特征树的概念，并详细说明了如何构建简化特征树。简化特征树在大小上比全特征树小，并且对于有界秩宽的图可以高效地构建，这为解决相关的模型检查问题提供了有效的方法。
以上就是关于有界秩宽图的线性时间算法的相关内容，通过这些方法可以更高效地处理图的模型检查问题。
有界秩宽图的线性时间算法（下半部分）
5. 关键概念总结与对比
为了更清晰地理解前面介绍的各种概念，下面通过表格的形式对一些关键概念进行总结和对比。
| 概念 | 定义 | 作用 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 一元二阶逻辑（MSO） | 一阶逻辑的扩展，允许对对象集合进行量化 | 用于描述图等结构的性质 | 表达能力强，可处理集合量化 |
| $\equiv_{MSO}^q$ 关系 | 对于 $\tau$-结构 $A$ 和 $B$，$A \equiv_{MSO}^q B$ 当且仅当对于所有量词秩至多为 $q$ 的 MSO 句子 $\phi$，都有 $A \models \phi \Leftrightarrow B \models \phi$ | 刻画结构之间的等价性 | 基于量词秩，判断结构是否可被特定句子区分 |
| 全特征树（$FC_q$） | 有限根树，根节点为 $(A[\overline{c}], \overline{c}, \overline{C} \cap \overline{c})$，子树根据元素和集合扩展 | 模拟模型检查游戏 | 大小为 $(2n + n)^q$，较大 |
| 简化特征树（$RC_q$） | 有限根树，根节点为 $Ord(A, \overline{c}, \overline{C})$，子树根据元素和集合扩展 | 替代全特征树，减小树的大小 | 数量和大小有界，对于有界秩宽图可高效构建 |
| 模型检查游戏 | 由验证者和反驳者进行，通过移动选择元素或集合，以判断公式是否成立 | 测试结构是否满足公式 | 位置性游戏，与逻辑公式的满足关系相关 |
6. 操作步骤详细解析
在前面提到了构建简化特征树的步骤，下面进一步详细解析每个步骤。
6.1 计算指示向量
指示向量 $\text{ind}(A_1, A_2, \overline{c})$ 用于记录 $\overline{c}_1$ 和 $\overline{c}_2$ 中的元素在 $\overline{c}$ 中出现的顺序。具体步骤如下：
1. 初始化一个长度为 $m$ 的向量 $\overline{d}$。
2. 对于 $\overline{c}$ 中的每个元素 $c_j$（$1 \leq j \leq m$）：
- 检查 $c_j$ 属于 $A_1$ 还是 $A_2$。
- 如果 $c_j$ 属于 $A_1$，找到它在 $\overline{c}_1$ 中的位置 $k$，则 $d_j = (1, k)$。
- 如果 $c_j$ 属于 $A_2$，找到它在 $\overline{c}_2$ 中的位置 $k$，则 $d_j = (2, k)$。
6.2 构建根节点的标签
构建 $root(R) = Ord(A, \overline{c}, \overline{C})$ 的标签，需要根据 $Ord(A_1, \overline{c}
1) \otimes Ord(A_2, \overline{c}_2)$ 并结合指示向量 $\overline{d}$ 进行元素重命名。具体步骤如下：
1. 计算 $Ord(A_1, \overline{c}_1)$ 和 $Ord(A_2, \overline{c}_2)$。
2. 根据指示向量 $\overline{d}$ 定义映射 $f$：对于所有 $1 \leq j \leq m$，$f(j) = [k]
{\overline{c}
i}$ 当且仅当 $d_j = (i, k)$。
3. 构建 $Ord(A_1, \overline{c}[A_1], \overline{C} \cap A_1) \otimes
{\overline{d}} Ord(A_2, \overline{c}[A_2], \overline{C} \cap A_2)$ 作为根节点的标签。
6.3 递归构建子树
通过树交叉积 $R_1 \times_{(q, \otimes, \overline{d})} R_2$ 递归构建子树，具体步骤如下：
1. 确定根节点：$root(R) = root(R_1) \otimes_{\overline{d}} root(R_2)$。
2. 计算子树集合 $S_1$ 和 $S_2$：
- 对于 $S_1$：
- 遍历 $R_1$ 的根节点的子节点 $u_1 = (H’
1, \overline{c}’_1 c, \overline{C}’_1)$，计算 $subtree
{R_1}(u_1) \times_{(q, \otimes, \overline{d}(1, m_1 + 1))} R_2$。
- 遍历 $R_2$ 的根节点的子节点 $u_2 = (H’
2, \overline{c}’_2 c, \overline{C}’_2)$，计算 $R_1 \times
{(q, \otimes, \overline{d}(2, m_2 + 1))} subtree_{R_2}(u_2)$。
- 对于 $S_2$：
- 遍历 $R_1$ 和 $R_2$ 的根节点的子节点 $u_i = (H’
i, \overline{c}’_i, \overline{C}’_i D_i)$（$1 \leq i \leq 2$），计算 $subtree
{R_1}(u_1) \times_{(q, \otimes, \overline{d})} subtree_{R_2}(u_2)$。
3. 合并 $S_1$ 和 $S_2$ 得到 $R$ 的子树集合。
7. 复杂度分析
-
时间复杂度
：
- 对于单个元素的 $\tau$-结构（$|A| = 1$），构建 $RC_q(A, \overline{c}, \overline{C})$ 的时间复杂度为常数时间。
- 对于 $A = A_1 \otimes A_2$ 的情况，计算树交叉积 $R_1 \times_{(q, \otimes, \overline{d})} R_2$ 的时间复杂度为 $\text{poly}(|R_1|, |R_2|)$，其中 $|R_i|$ 表示 $R_i$ 中的节点数。
- 空间复杂度 ：简化特征树的数量至多为 $\text{exp}(q + 1)(|\tau| \cdot qr + q \log q + q^2)$，大小至多为 $(\text{exp}(q)(|\tau| \cdot qr + q \log q + q^2))^4$，相比于全特征树的 $(2n + n)^q$ 大小，空间复杂度有了显著的降低。
8. 实际应用示例
假设我们有一个有界秩宽的图 $G$，需要判断它是否满足某个 MSO 公式 $\phi$。可以按照以下步骤进行：
1. 输入图 $G$ 及其 $t$-标记解析树分解。
2. 构建深度为 $q$ 的简化特征树 $RC_q(G)$，具体步骤如下：
- 如果 $|G| = 1$，直接在常数时间内构建 $RC_q(G, \overline{c}, \overline{C})$。
- 否则，计算指示向量 $\overline{d}$，构建根节点标签，递归构建子树。
3. 进行模型检查游戏 $MC(RC_q(G), \phi, \epsilon, \epsilon)$。
- 验证者和反驳者按照游戏规则进行移动。
- 如果验证者有获胜策略，则 $G \models \phi$；否则，$G \not\models \phi$。
下面用 mermaid 绘制实际应用的流程图：
graph TD
A[输入图G及其t - 标记解析树分解] --> B[构建RC_q(G)]
B --> C{RC_q(G)构建完成?}
C -- 是 --> D[进行模型检查游戏MC(RC_q(G), ϕ, ϵ, ϵ)]
C -- 否 --> B
D --> E{验证者有获胜策略?}
E -- 是 --> F[G |= ϕ]
E -- 否 --> G[G ≠ ϕ]
9. 总结与展望
通过本文的介绍，我们了解了一元二阶逻辑（MSO）、$\equiv_{MSO}^q$ 关系、模型检查游戏以及特征树等重要概念。简化特征树的引入有效地减小了特征树的大小，并且对于有界秩宽的图可以高效地构建，为解决图的模型检查问题提供了一种线性时间的算法。
在未来的研究中，可以进一步探索以下方向：
- 优化简化特征树的构建算法，进一步降低时间和空间复杂度。
- 将这些方法应用到更广泛的图结构和问题中，如社交网络分析、生物信息学等领域。
- 研究如何结合其他技术，如机器学习，提高模型检查的准确性和效率。
总之，有界秩宽图的线性时间算法为处理复杂图结构的模型检查问题提供了有力的工具，具有广阔的应用前景。
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