66、线性时间算法在有界秩宽图中的应用：特征树的构建与模型检查

线性时间算法在有界秩宽图中的应用：特征树的构建与模型检查

在图论和逻辑领域，对于有界秩宽图的研究有着重要的意义。本文将深入探讨如何利用特征树来进行有界秩宽图的模型检查，以及特征树的构建方法。

1. 基础知识

• 一元二阶逻辑（MSO） ：它是一阶逻辑的扩展，允许对对象集合进行量化。
  • 词汇表（Vocabulary） ：用 $\tau$ 表示，是一个有限的关系符号集合，每个符号都有一个与之关联的自然数，称为元数（arity）。
  • $\tau$-结构 ：由一个集合 $A$（称为 $A$ 的全域）和对于 $\tau$ 中每个 $p$-元关系符号 $R$ 对应的一个 $p$-元关系 $R^A \subseteq A^p$ 组成。
  • 图的表示 ：图可以自然地表示为关系结构，其全域为顶点集，词汇表包含一个单一的二元（边）关系符号。对于 $t$-标记图 $G$，可以使用包含二元关系符号 $E$（表示边关系）和 $t$ 个一元关系符号 $L_1, \cdots, L_t$（其中 $L_i$ 表示标记为 $i$ 的顶点集）的词汇表 $\tau$ 来表示。
• 公式的相关概念
  • 量词秩（Quantifier Rank） ：公式 $\phi$ 的量词秩 $qr(\phi)$ 是其中嵌套量词的最大数量。