22、可压缩集与可排序集的闭包和非闭包性质

可压缩集与可排序集的闭包和非闭包性质

在计算机科学的复杂性理论领域，可压缩集与可排序集的研究已经有超过四分之一个世纪的历史。自Allender、Goldberg和Sipser等人开启了多项式时间排序的正式研究以来，众多学者对这一领域进行了深入探索。然而，经过这么长时间，可压缩集和可排序集在最重要的布尔运算和其他运算下是否封闭，基本仍未得到充分研究。

1. 基本概念

• 压缩函数 ：对于集合 $A$，压缩函数 $f$ 是一个定义域为 $\Sigma^ $ 的函数，需满足 $f(A) = \Sigma^ $ 且对于任意 $a, b \in A$，若 $a \neq b$ 则 $f(a) \neq f(b)$。这就好比为集合 $A$ 提供了一个最小完美哈希函数，既没有冲突（集合 $A$ 元素间），也不会遗漏值域中的任何元素。
• 排序函数 ：排序函数可以看作是压缩函数的“兄弟”，它会将集合 $A$ 中的第 $i$ 个字符串映射到整数 $i$，即它会保留集合 $A$ 中元素的字典序。

2. 研究背景与现状

排序的研究始于Allender、Goldberg和Sipser等人，后来引发了对压缩的研究。早期的工作主要集中在多项式时间或对数空间的排序或压缩函数。近年来，压缩和排序也在递归理论的背景下得到了研究，包括全递归压缩/排序函数和部分递归压缩/排序函数。

3. 主要贡献

本文对复杂性理论和递归理论中的压缩和排序函数进行了持续研究，主要贡献体现在对可压缩集和可排序集在布尔运算下的闭包和