34、网格上移动机器人的最优确定性协议

网格上移动机器人的最优确定性协议

1. 引言

本文将探讨网格上移动机器人的最优确定性协议，主要涉及单目标和多目标两种情况。通过四个阶段的操作，能让机器人在网格中高效地完成任务，且在不同情况下都能达到最优的时间复杂度。

2. 单目标协议

2.1 阶段 I：平衡

在这个阶段，最多 $m \leq n/4$ 个机器人从网格中的任意位置开始，需要将它们分布到 $n/4$ 个瓷砖中，使得每个瓷砖的左上角节点最多有一个机器人。这通过 $\log n - 2$ 个平衡步骤完成，步骤编号从 0 到 $\log n - 3$。

• 偶数步骤 ：机器人在大小为 $\sqrt{n/2^i} \times \sqrt{n/2^i}$ 的方形子网格中均匀分布，然后在大小为 $\sqrt{n/2^i} \times \sqrt{n/2^{i + 2}}$ 的矩形子网格中均匀划分。
• 奇数步骤 ：机器人在大小为 $\sqrt{n/2^{i - 1}} \times \sqrt{n/2^{i + 1}}$ 的矩形子网格中独立工作，均匀划分到大小为 $\sqrt{n/2^{i + 1}} \times \sqrt{n/2^{i + 1}}$ 的方形子网格中。

以下是奇数步骤的具体实现：
1. 每行的机器人向左聚集。
2. 每列的机器人向底部聚集。此时，机器人形成一个从右下角到左上角上升的“楼梯”形状。
3. 在每列 $k < t/2$ 中，每个机器人计算列中的机器人数量。如果数量为奇数，最顶