30、无限网格上的最优聚集算法解析

无限网格上的最优聚集算法解析

1. 引言

在无限网格环境中，机器人的聚集问题是一个具有挑战性的研究领域。该领域旨在让多个机器人在网格上移动并最终聚集到同一个顶点。本文将探讨无限网格上机器人聚集的相关理论和算法，分析聚集的可能性，并提供具体的解决算法。

2. 基本概念与定理

• 加权点（WP）与聚集定理 ：给定配置(((V, E), ℓ))，其中加权点（WP）位于(X ⊆V)。当机器人向WP (x)移动时，会产生新的配置(((V, E), ℓ′))，新的WP位于(X′ ⊆V)，且满足(cℓ′(v) = cℓ(v) −1)（对于每个(v ∈X′)），(x ∈X′)，(X′ ⊆X)。若配置只有一个WP，且机器人能检测到它，则可实现精确聚集。
• 不可聚集情况
  • 定理2 ：若配置存在分划自同构，则不可聚集。在无限网格中，所有对称轴不经过顶点或旋转中心不与顶点重合的初始配置都是不可聚集的。
  • 定理3 ：若配置仅包含两个机器人（或两个相同大小的多重性），则不可聚集。
  • 定理4 ：若配置(C = (G, ℓ))仅包含四个位于(SC)角上的机器人（或四个相同大小的多重性），则(C)不可聚集。
  • 定理5 ：若机器人没有任何多重性检测能力，则无限网格上的聚集问题无法解决。