29、可靠多方计算与无限网格上的最优聚集问题研究

可靠多方计算与无限网格上的最优聚集问题研究

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在可靠多方计算领域，有一系列重要的研究成果和待解决的问题。

首先，对于欺骗有向无环图（deception DAG），当规模(n > c(2c + \log c + 1))时，经过(\log^{ }n - \log^{ }(\log c + 1))次成功步骤后，它会收缩为规模至多为(c(2c + \log c + 1))的欺骗有向无环图。设(p)为在任何法定人数中均匀随机选择一个未标记的不良方的概率，由于任何法定人数中不良方的比例至多为(1/4)，且未标记方的比例至少为(1/2 + \gamma)（对于任何常数(\gamma > 0)），所以(p \leq \frac{1/2}{1 + 2\gamma})。

以下是几个重要的引理：
1. 引理4 ：任何规模为(m)的欺骗有向无环图，至少以(1/2)的概率在(8(\log^{ }m + 2(\log c + 1)))轮内收缩为规模为零，其中(c = \frac{2(1 + 2p)}{\log e(1 - 2p)^2})且(p \leq \frac{1/2}{1 + 2\gamma})，对于任何常数(\gamma > 0)。
2. 引理5 ：为使未检测到腐败的期望轮数最大化，对手应在第一轮的最大欺骗有向无环图中破坏根方的输出。
3. 引理6 ：假设在最后一次调用(COMPUTE - CIRCUIT)时随机选择的某个方破坏了计算，那么当调用算法(CHECK)时，至少以(1