19、多维信号表示与处理：从连续到离散的转换

多维信号表示与处理：从连续到离散的转换

1. 重心误差计算

在信号处理和图像处理中，重心误差的计算是一个重要的环节。在相同的分割过程假设下，重心的无偏估计公式为：
[
x_g = \frac{1}{N} \left( \sum_{n = 1}^{N - N_b} x_n + \frac{1}{2} \sum_{n’ = 1}^{N_b} x_{n’} \right)
]
这里，边界像素仅计算一半。由于非边界像素的估计部分是精确的，误差仅由边界像素面积的变化引起。因此，重心每个分量估计的方差为：
[
\sigma_g^2 = \frac{N_b}{4N^2} \sigma^2
]
其中，(\sigma) 是对象边界处分数单元格位置的方差。对于直径为 (D) 像素的紧凑对象，重心的标准差约为：
[
\sigma_g \approx \frac{0.3}{D^{3/2}} \quad (D \gg 1)
]
对于直径为 (D) 像素的体积对象，标准差变为：
[
\sigma_{gv} \approx \frac{0.45}{D^2} \quad (D \gg 1)
]
这一结果表明，即使使用二值图像（分割对象），对象的位置和所有相关几何量（如距离）也能精确到 1/100 像素的范围。有趣的是，面积和体积估计的相对误差与重心的标准差相等。需要注意的是，这里仅讨论了统计误差，分割中的偏差可能会导致更高的系统误差。

2. 连续信号与离散信号的关系

在实际应用中，连续信号 (g(q)) 是信号的一种有用数学描述，但现实世界中的信号只