19、多维信号表示与处理：从理论到实践

多维信号表示与处理：从理论到实践

在信号处理和图像处理领域，理解多维信号的表示和处理至关重要。本文将深入探讨多维信号的重心误差计算、连续与离散信号的关系、向量空间和酉变换等关键概念，为读者呈现这一领域的核心知识。

1. 重心误差计算

在处理图像中的物体时，重心是一个重要的几何特征。对于重心误差的计算，在相同的分割过程假设下，重心的无偏估计公式为：
[x_g = \frac{1}{N} \left( \sum_{n = 1}^{N - N_b} x_n + \frac{1}{2} \sum_{n’ = 1}^{N_b} x_{n’} \right)]
这里，边界像素仅计算一半。由于非边界像素的估计部分是精确的，误差仅由边界像素面积的变化引起。因此，重心每个分量估计的方差为：
[\sigma_g^2 = \frac{N_b}{4N^2} \sigma^2]
其中，(\sigma) 是物体边界处分数单元位置的方差。对于直径为 (D) 像素的紧凑物体，重心的标准差约为：
[\sigma_g \approx \frac{0.3}{D^{3/2}} \quad (D \gg 1)]
对于直径为 (D) 像素的体积物体，标准差变为：
[\sigma_{gv} \approx \frac{0.45}{D^2} \quad (D \gg 1)]
这一结果表明，即使使用二值图像（分割后的物体），物体的位置和所有相关几何量（如距离）也能精确到 1/100 像素的范围。有趣的是，面积和体积估计的相对误差与重心的标准差相等。需要注意的是，这里仅讨论了统计误差，分割中的偏差可能会导致更高的系统误差。

2. 连续与离散信号的关系