13、不可分物品公平分配的近似算法与难度分析

不可分物品公平分配的近似算法与难度分析

在过去几十年里，公平分配问题吸引了众多科学领域的关注，包括数学、经济学、计算机科学和政治学等。其目标是将一组资源分配给一组参与者，使每个参与者都尽可能满意。为了模拟参与者的偏好，通常假设每个参与者都有一个对资源集的估值函数，多数情况下为加法函数。

1. 公平分配模型

公平分配模型主要分为两类：
- 连续模型 ：资源可无限分割，适用于物品可任意细分、资源对应使用时间百分比或土地分配等情况。在连续模型下，多数标准公平概念的存在性可得到保证，部分情况下还有高效算法。
- 离散模型 ：资源为不可分物品，每个物品必须完整分配给一个参与者。在离散模型中，多数公平概念的存在性无法保证，判断给定实例是否存在公平分配是NP难问题。

2. 基本定义与公平概念

2.1 符号与术语

假设有n个参与者的集合$N = {1, 2, …, n}$和m个不可分物品的集合$M = {1, 2, …, m}$。每个参与者$i \in N$通过估值函数$v_i(·)$表达对物品的偏好。通常假设为加法估值函数，即对于$S \subseteq M$，$v_i(S) = \sum_{j \in S} v_i({j})$，为简化表示，用$v_{ij}$代替$v_i({j})$。输入可由矩阵$V = (v_{ij})$编码，其中第i行对应参与者i的估值。物品分配是一个划分$S = (S_1, …, S_n)$，满足$S_i \cap S_j = \varnothing$且$\bigcup_{i \in N} S_i = M$。