25、复乘法相关知识解析

复乘法相关知识解析

1. 复乘法基础概念

在数学领域中，复乘法有着重要的地位。对于一个格 (L_{\tau} = \mathbb{Z}\tau + \mathbb{Z})，当存在整数 (a,b,c)（(a \neq 0)）使得 (a\tau \cdot \tau = -b\tau - c \in L_{\tau}) 时，这意味着用 (a\tau) 进行乘法运算会将格 (L_{\tau}) 映射到自身。由此可以得出，(\mathbb{C}/L_{\tau}) 具有复乘法。

假设 (\tau \in K)，设 (R) 为 (\mathbb{C}/L_{\tau}) 的自同态环。由于前面已证明 (R \neq \mathbb{Z})，所以 (R) 是 (K) 中的一个序。根据相关命题可知，(j(\tau)) 是代数数。

2. 有限域上的椭圆曲线

有限域 (\mathbb{F}_q) 上的椭圆曲线 (E) 总是具有复乘法。多数情况下，这一点很容易理解。弗罗贝尼乌斯自同态 (\varphi_q) 是方程 (X^2 - aX + q = 0) 的根，其中 (|a| \leq 2\sqrt{q})。
- 当 (|a| < 2\sqrt{q}) 时，该多项式只有复根，所以 (\varphi_q \notin \mathbb{Z})，进而有 (\mathbb{Z} \neq \mathbb{Z}[\varphi_q] \subseteq \text{End}(E))。
- 当 (a = \pm 2\sqrt{q}) 时，自同态环仍然比 (\mathbb{Z}) 大，同样存在复乘法。实际上，自同态环是四元数代数中的一个序，比二次域中的序更大。