20、椭圆曲线与伽罗瓦上同调：理论与应用

椭圆曲线与伽罗瓦上同调：理论与应用

1. 椭圆曲线的映射与费马下降法

在椭圆曲线理论中，存在一些特殊的映射，它们对于研究椭圆曲线的性质和证明相关定理具有重要意义。对于椭圆曲线 (E: y^{2}=x^{3}+Cx^{2}+Ax) 和 (E’: y’^{2}=x’^{3}-2Cx’^{2}+(C^{2}-4A)x’)，有如下映射：
- (\psi: E \to E’) 定义为 ((x’, y’) = \psi(x, y) = \left(\frac{y^{2}}{x^{2}}, \frac{y(x^{2}-A)}{x^{2}}\right))，且 (\psi(0, 0) = \psi(\infty) = \infty)。
- (\psi’: E’ \to E) 定义为 ((x, y) = \psi’(x’, y’) = \left(\frac{y’^{2}}{4x’^{2}}, \frac{y’(x’^{2}-C^{2}+4A)}{8x’^{2}}\right))，且 (\psi’(0, 0) = \psi’(\infty) = \infty)。

可以证明，复合映射 (\psi’ \circ \psi) 是 (E) 上的乘以 2 运算。费马下降法可以通过这两个映射进行分析，这种方法比之前使用的方法更强大，因为它只要求一个 2 - 挠点是有理的，而不是全部三个。这些映射是 (E(\mathbb{Q})) 和 (E’(\mathbb{Q})) 之间的同态，并且由有理函数描述。一般地，对于域 (K) 上的椭圆曲线 (E_1) 和 (E_2)，由有理函数给出的从 (E_1(K)) 到 (E_2(K)) 的同态称为同源。

2. 2 - 塞尔默群与沙法列维奇 - 泰特群