5、椭圆曲线密码学：离散对数问题与公钥加密

椭圆曲线密码学：离散对数问题与公钥加密

1. 离散对数问题的引入

在椭圆曲线密码学中，标量乘法在一个方向上容易计算，但在相反方向上却极其困难，结合群的数学性质，这正是椭圆曲线密码学所需要的基础。

为什么将标量乘法的逆运算称为离散对数问题呢？我们通常把点之间的运算称为“加法”，但也可以将其视为一种点“操作”。在数学中，新定义的运算通常用点运算符（⋅）表示，点运算符也用于乘法。当进行多次乘法时，就相当于指数运算。当我们把“点加法”看作“点乘法”时，标量乘法就变成了标量指数运算。

例如，$P^7 = Q$，离散对数问题就是要反转这个方程，即$\log_PQ = 7$。然而，左边的对数方程没有解析可计算的算法，也就是说，没有已知的通用公式可以直接得出答案。实际上，我们也可以将这个问题称为“离散点除法”问题。

练习 4 ：对于曲线$y^2 = x^3 + 7$在$F_{223}$上，计算以下内容：
- $2 ⋅ (192,105)$
- $2 ⋅ (143,98)$
- $2 ⋅ (47,71)$
- $4 ⋅ (47,71)$
- $8 ⋅ (47,71)$
- $21 ⋅ (47,71)$

2. 标量乘法的特性

标量乘法是将同一个点自身相加若干次。将标量乘法应用于公钥密码学的关键在于，椭圆曲线上的标量乘法很难反转。以下是在$F_{223}$上计算$s ⋅ (47,71)$（$s$从 1 到 21）的结果：

from ecc import Fiel