12、离散对数问题全解析

离散对数问题全解析

1. 离散对数问题概述

离散对数问题在密码学等领域有着重要地位。设 (p) 为素数，(a)、(b) 为模 (p) 非零的整数，若存在整数 (k) 使得 (a^k \equiv b \pmod{p})，经典离散对数问题就是要找出这个 (k)。由于 (k + (p - 1)) 也是解，所以 (k) 应被视为模 (p - 1) 定义，若 (a^d \equiv 1 \pmod{p})，则 (k) 也可模 (d) 定义。

更一般地，对于任意群 (G)（这里暂时写成乘法形式），(a,b \in G)，若已知存在整数 (k) 使得 (a^k = b)，离散对数问题同样是找出 (k)。例如，(G) 可以是有限域 (F_q) 的乘法群 (F_q^×)，也可以是某椭圆曲线 (E) 上的点构成的群 (E(F_q))，此时 (a) 和 (b) 是椭圆曲线 (E) 上的点，我们要找整数 (k) 使得 (ka = b)。

解决离散对数问题的一种简单方法是暴力枚举，即尝试所有可能的 (k) 值，直到找到满足条件的 (k)。但当 (k) 可能是几百位的整数时，这种方法就不切实际了，因此需要更高效的技术。

2. 指标计算法

指标计算法是一种计算离散对数函数 (L) 值的方法。设 (p) 为素数，(g) 是模 (p) 的原根（即 (g) 是循环群 (F_p^×) 的生成元），那么对于任意模 (p) 非零的 (h)，都可以写成 (h \equiv g^k) 的形式，其中 (k) 模 (p - 1) 唯一确定，记 (k = L(h)) 为 (h) 关于 (g) 和 (p) 的离散对数，即 (g^{L(h)} \equiv h \pmod{p})。