4、椭圆曲线的其他方程及相关特性

椭圆曲线的其他方程及相关特性

1. 椭圆曲线的其他方程形式

椭圆曲线通常以Weierstrass方程的形式呈现，但它还有其他多种表现形式，下面为你详细介绍。
- Legendre方程 ：它是Weierstrass方程的一种变体，其优势在于能通过一个参数来表示代数闭域（特征不为2）上的所有椭圆曲线。
- 命题内容 ：设$K$是特征不为2的域，椭圆曲线$E$的方程为$y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c = (x - e_1)(x - e_2)(x - e_3)$，其中$e_1, e_2, e_3 \in K$。令$x_1 = (e_2 - e_1)^{-1}(x - e_1)$，$y_1 = (e_2 - e_1)^{-\frac{3}{2}}y$，$\lambda = \frac{e_3 - e_1}{e_2 - e_1}$，则$\lambda \neq 0, 1$，且$y_1^2 = x_1(x_1 - 1)(x_1 - \lambda)$。
- 参数情况 ：椭圆曲线$E$的参数$\lambda$并非唯一，${\lambda, \frac{1}{\lambda}, 1 - \lambda, \frac{1}{1 - \lambda}, \frac{\lambda}{\lambda - 1}, \frac{\lambda - 1}{\lambda}}$中的每个值都能得到$E$的Legendre方程，它们对应着根$e_1, e_2, e_3$的六种排列。除了$\lambda = -1, \frac{1}{2}, 2$或$\lambda^2 - \lambda + 1