31、高效随机素性测试算法：Miller–Rabin与Solovay–Strassen

高效随机素性测试算法：Miller–Rabin与Solovay–Strassen

在数论和密码学领域，素性测试是一个至关重要的问题。判断一个给定的数是否为素数，对于许多加密算法的安全性和效率起着关键作用。本文将深入探讨两种著名的随机素性测试算法：Miller–Rabin测试和Solovay–Strassen测试，详细介绍它们的原理、实现和性能特点。

1. Fermat测试的局限性

Fermat测试是一种简单的素性测试方法，基于Fermat小定理。然而，它存在严重的局限性，特别是对于Carmichael数。Carmichael数是一类合数，但在Fermat测试中，它们表现得像素数，导致Fermat测试给出错误的结果。具体来说，对于Carmichael数 $n$，$Z_n^*$ 中几乎所有元素都是Fermat骗子，使得Fermat测试的错误概率接近1。

2. Miller–Rabin测试

2.1 算法原理

Miller–Rabin测试是一种改进的随机素性测试算法，通过加强Fermat小定理的条件来提高测试的准确性。该算法的核心思想是寻找所谓的Miller–Rabin见证（MR - witness），如果找到一个MR - witness，则可以确定该数为合数；反之，如果没有找到，则该数很可能是素数。

2.2 相关定义

• MR - witness和MR - liar ：对于奇数 $n \geq 3$，定义 $m = (n - 1) / 2^k$，其中 $k = \max{j \in N | 2^j \text{ 整除 } n - 1}$。如果 $a