19、并行访问NP问题及相关复杂性分析

并行访问NP问题及相关复杂性分析

在计算复杂性理论中，并行访问NP问题是一个重要的研究领域，它涉及到多个复杂的概念和问题，如多项式层次结构、独立性数问题、选举系统中的获胜者问题等。下面我们将深入探讨这些内容。

1. 多项式层次结构相关理论

首先，我们来看一些与多项式层次结构相关的基础理论。通过固定字符串 $x$ 中的所有位，可以创建一个布尔公式 $\phi_{\langle M,x\rangle}$，它仅依赖于集合 $Z \cup \bigcup_{j=1}^{i} Y_j$ 中的变量。根据库克定理，对于每个输入 $\langle x, y_1, y_2, \ldots, y_i\rangle$，有以下等价关系：
$\langle x, y_1, y_2, \ldots, y_i\rangle\in B \Leftrightarrow\phi_{\langle M,x,y_1,y_2,\ldots,y_i\rangle}(Z) \in SAT$
$\Leftrightarrow(\exists qz) [\phi_{\langle M,x,y_1,y_2,\ldots,y_i,z\rangle} \text{ 计算结果为真}]$
其中 $q$ 是关于 $|x|$ 的多项式，用于限制 $Z$ 中变量的数量。这些等价关系进一步表明，对于每个 $x \in \Sigma^*$，有：
$x \in A \Leftrightarrow(\exists p y_1) (\forall p y_2) \cdots (\exists p y_i) [\langle x, y_1, y_2, \ldots, y_i\rangle\in B]$
$\Leftrighta