10、复杂性理论中的NP完全性问题深度解析

复杂性理论中的NP完全性问题深度解析

在计算复杂性理论中，NP完全性问题是一个核心研究领域，它对于理解问题的计算难度和分类具有至关重要的意义。下面将详细介绍一些重要的NP完全性问题及其证明。

1. SAT问题的NP完全性

SAT（布尔可满足性问题）是第一个被证明为NP完全的问题。这一开创性的结果分别由Cook和Levin独立得出。

• 证明SAT属于NP ：可以通过一个非确定性图灵机（NTM）来接受SAT问题。给定一个布尔公式 $\phi(x_1, x_2, …, x_n)$，该NTM会非确定性地猜测变量 $x_1, x_2, …, x_n$ 的真值赋值 $t$，然后根据 $t$ 评估 $\phi$，当且仅当 $t(\phi) = 1$ 时接受。
• 证明SAT的NP难性 ：设 $A$ 是NP中的任意集合，有一个NTM $M$ 能在多项式时间内接受 $A$。不失一般性，假设 $M$ 只有一个既是输入又是工作的磁带，对于长度为 $n$ 的输入 $x$，$M$ 恰好运行 $p(n) \geq n$ 步。我们要定义一个归约 $f \in FP$，使得对于每个 $x$，有 $x \in A \Leftrightarrow f(x) = F_x \in SAT$。

构造布尔公式 $F_x$ 时，其布尔变量及含义如下表所示：
| 变量 | 索引范围 | 含义 |
| ---- | ---- | ---- |
| $state_{t,s}$ | $t \in {0, 1, …, p(n)}, s \in Z$ | 在第 $t$