7、复杂度理论中的加速、压缩与层次定理

复杂度理论中的加速、压缩与层次定理

1. 核心问题引入

在复杂度理论里，有一个关键问题：资源要增加多少，才能实现更严格的计算能力提升呢？以确定性时间类 DTIME(t1) 为例，另一个函数 t2 要比 t1 增长到多强，才能确保 DTIME(t1) ≠ DTIME(t2) 呢？线性磁带压缩和加速定理表明，对给定资源函数进行线性增加，并不足以得到一个更严格的复杂度类。

2. 任意复杂问题的构造

在探讨线性磁带压缩和加速定理之前，我们要知道可以构造出任意复杂的问题，也就是那些能突破任何给定复杂度界限的问题。
- Fact 3.8 ：对于每个 t ∈ IR，存在一个问题 At，使得 At ∉ DTIME(t)。
- 证明 ：采用对角线法。设 M0, M1, M2, … 是所有确定性图灵机（DTM）的一个哥德尔编码（即有效枚举）。定义 At = {0i | Mi 在 t(i) 步内不接受 0i}。假设 At ∈ DTIME(t)，那么存在一个 j 使得 L(Mj) = At，并且对于每个 n ∈ N，timeMj(n) ≤ t(n)。于是有 0j ∈ At ⇔ Mj 在 t(j) 步内不接受 0j ⇔ 0j ∉ L(Mj) = At，这就产生了矛盾，所以 At ∉ DTIME(t)。
- Rabin’s Theorem ：对于每个 t ∈ IR，存在一个可判定集 Dt，使得对于每个判定 Dt 的 DTM M，都有 timeM(n) >ae t(n)。

3. 线性磁带压缩定理