28、非负张量分解：理论、方法与应用

非负张量分解：理论、方法与应用

1. 贝叶斯张量分解

1.1 层次贝叶斯模型

贝叶斯张量分解用于协同过滤，其观测张量 $X = {X_{lmn}}$ 是沿 $L$ 个时间、$M$ 个用户和 $N$ 个项目的评分值。该模型遵循层次贝叶斯模型，进行全贝叶斯推理。

在模型构建中，似然函数 $p(X|C,B,W,\sigma^2)$ 与特定公式定义相同。因子参数 $C = {C_l} {l = 1}^L$、$C_0$、$B = {B_m} {m = 1}^M$ 和 $W = {W_n} {n = 1}^N$ 的先验分布定义如下：
- $p(C_l|R_c^{-1}) = N\left(C_l|C {l - 1},R_c^{-1}\right)$
- $p(C_0|\mu_c,R_c^{-1}) = N\left(C_0|\mu_c,R_c^{-1}\right)$
- $p(B_m|\mu_b,R_b^{-1}) = N\left(B_m|\mu_b,R_b^{-1}\right)$
- $p(W_n|\mu_w,R_w^{-1}) = N\left(W_n|\mu_w,R_w^{-1}\right)$

模型参数 $\Theta = {C,B,W,\sigma^2,\Theta_c = {\mu_c,R_c},\Theta_b = {\mu_b,R_b},\Theta_w = {\mu_w,R_w}}$。超参数 $\Xi$ 由 $C$、$B$ 和 $W$ 分布中假设的参数组成，均值向量 ${\mu_c,\mu_b,\mu_w}$ 和精度矩阵 ${R_c,R_b,R_w}$ 由高斯