6、基于模型的源分离技术：从矩阵到神经网络

基于模型的源分离技术：从矩阵到神经网络

1. 非负矩阵分解（NMF）

1.1 不同学习目标下的NMF更新规则

NMF 旨在将矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，以实现源分离。根据不同的学习目标，有不同的更新规则，具体如下表所示：
| 学习目标 | 标准 NMF 更新规则 |
| — | — |
| 平方欧几里得距离（β = 2） | (B \leftarrow B \odot \frac{XW^{\top}}{BWW^{\top}}, W \leftarrow W \odot \frac{B^{\top}X}{B^{\top}BW}) |
| KL 散度（β = 1） | (B \leftarrow B \odot \frac{X}{BW W^{\top}} \mathbf{1}W^{\top}, W \leftarrow W \odot B^{\top}\frac{X}{BW} B^{\top}\mathbf{1}) |
| IS 散度（β = 0） | (B \leftarrow B \odot \frac{(BW).[-2]\odot X}{(BW).[-1]W^{\top}}, W \leftarrow W \odot B^{\top}\frac{(BW).[-2]\odot X}{B^{\top}(BW).[-1]}) |

这里，(A.[n]) 表示元素为 ([A]_{ij}^n) 的矩阵。平方欧几里得距离、KL 散度和 IS 散度分别是 β 散度在 β = 2、β = 1 和 β = 0 时的特殊情况。β - NMF 的一般解为：
(B \leftarrow B \odot \frac{(BW).[\beta