16、最佳响应动态：博弈中的收敛机制

最佳响应动态：博弈中的收敛机制

在博弈论中，我们常常关注战略参与者是否能达到均衡状态，以及哪些学习算法能快速收敛到均衡。为了探讨这些问题，我们需要明确动态机制，即描述参与者在非均衡状态下的行为方式。本文将聚焦于“最佳响应动态”及其变体，研究它们在不同类型博弈中的收敛情况。

1. 最佳响应动态基础

最佳响应动态是一种简单直接的程序，参与者通过连续的单方面偏离来寻找博弈的纯纳什均衡（PNE）。具体步骤如下：

最佳响应动态
当当前结果 s 不是 PNE 时：
    选择任意一个参与者 i 和该参与者的任意一个有益偏离 s′i，
    并将结果更新为 (s′i, s−i)

这里，偏离的参与者 i 和有益偏离 s′i 可能有多种选择，我们暂时不做具体规定，后续会根据需要进行细化。初始结果可以是任意的。

最佳响应动态可以形象地看作是在一个图中的游走，图的顶点对应策略组合，出边对应有益偏离。PNE 恰好是图中没有出边的顶点。因此，最佳响应动态只能在 PNE 处停止，在没有 PNE 的博弈中会陷入循环。即使在存在 PNE 的博弈中，它也可能循环（如练习 16.1 所示）。

最佳响应动态非常适合潜在博弈。潜在博弈存在一个实值函数 Φ，对于任何参与者的单方面偏离，潜在函数值的变化等于偏离者成本的变化。路由博弈、选址博弈和网络成本分摊博弈都是潜在博弈的例子。

下面是一个关于最佳响应动态在潜在博弈中收敛性的命题：
命题 16.1（最佳响应动态的收敛性） ：在潜在博弈中，从任意初始结果开始，