20、碰撞算法与中间相遇攻击：原理、应用与优化

碰撞算法与中间相遇攻击：原理、应用与优化

1. 碰撞算法基础

碰撞算法是一种强大的搜索方法，其核心思想是：在众多对象中寻找匹配对象，往往比寻找特定对象更容易。这种方法有多种名称，如中间相遇攻击、碰撞算法等。

1.1 生日悖论

生日悖论生动地展示了碰撞算法的基本概念。在一个随机的 40 人小组中，有两个有趣的问题：
- 问题（1）：有人和你生日相同的概率是多少？
- 问题（2）：至少有两个人生日相同的概率是多少？

这两个问题的答案差异巨大。对于问题（1），粗略估计是(\frac{40}{365}\approx11\%)，但这是高估，因为重复计算了多人与你生日相同的情况。精确答案是通过计算无人与你生日相同的概率，再用 1 减去该值得到：
[Pr(\text{有人和你生日相同}) = 1 - Pr(\text{40 人都和你生日不同}) = 1 - (\frac{364}{365})^{40}\approx10.4\%]

对于问题（2），计算所有人生日不同的概率，然后用 1 减去该值。第(i)个人生日与前(i - 1)个人不同的概率是(\frac{365 - (i - 1)}{365})，所以：
[Pr(\text{至少两人生日相同}) = 1 - \prod_{i = 1}^{40}\frac{365 - (i - 1)}{365}= 1 - \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdots \frac{326}{365}\approx89.1\%]

大多数人会认为这两个问题答案相近，但实际上差异明显，这就是生