11、密码学与数论相关知识练习解析

密码学与数论相关知识练习解析

1. 基础知识定理

有限域 (F) 若有 (q) 个元素，则 (F) 存在一个原根 (g)，使得 (F^*)（(F) 的非零元素构成的乘法群）可表示为 ({1, g, g^2, g^3, \cdots, g^{q - 2}})。该定理的证明可在基础数论教材中找到，如 [53, §4.1] 或 [126, Chapter 21]。

2. 不同主题的练习

2.1 Diffie - Hellman 和 RSA 相关

• 政府获取私钥问题 ：探讨政府在说服法院有正当理由时，是否应能获取个人私钥（甚至无需个人知晓），类似法院授权的秘密窃听。还涉及是否支持政府拥有此权力，以及无法院监督的情况。将所有私钥存储在安全中心位置并可供政府机构访问的想法被称为密钥托管。
• 密码算法分类为弹药问题 ：研究密码算法根据 ITAR（国际武器贸易条例）被分类为弹药的情况。需了解该法案对“出口”的定义、违反《武器出口控制法》的潜在罚款和监禁期限，判断向包含非美国公民的大学班级教授非机密密码算法是否算出口，以及美国政府政策从 20 世纪 90 年代初到现在的变化。

2.2 离散对数问题

• 离散对数性质证明
  • 设 (g) 是 (F_p) 的原根，若 (x = a) 和 (x = b) 都是同余式 (g^x \equiv h \pmod{p}) 的整数解，则 (a \equiv b \pmod{p - 1})，这保证了